Đường thẳng Euler

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Đường thẳng Euler (đỏ) đi qua trọng tâm (cam), trực tâm (lam), tâm đường tròn ngoại tiếp (lục) và tâm đường tròn chín điểm (đỏ) của tam giác.

Trong môn hình học, đường thẳng Euler, được đặt tên theo nhà toán học Leonhard Euler, là một đường thẳng được xác định từ bất kỳ tam giác nào không đều. Đường thẳng này đi qua các điểm quan trọng trong tam giác như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm của đường tròn chín điểm.

Năm 1765, Euler đã chứng tỏ rằng trong tam giác, các điểm như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm đường tròn chín điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Trong tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau, nhưng trong các tam giác thì không, và chỉ cần hai điểm trong số bốn điểm có thể xác định được đường thẳng Euler. Tâm của đường tròn chín điểm nằm trên đường thẳng Euler ở giữa trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, và khoảng cách từ trọng tâm đến tâm đường tròn ngoại tiếp bằng một nửa khoảng cách từ trọng tâm đến trực tâm.

Các điểm nổi tiếng khác nằm trên đường thẳng Euler được biết đến trong tam giác bao gồm điểm de Longchamps, điểm Schiffler, và điểm Exeter. Tuy nhiên tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp chỉ thuộc đường thẳng Euler trong trường hợp tam giác cân.

Đường thẳng Euler của có vài bổ đề của riêng nó, và cả đối bổ đề.

Cho A, B, C là tên của ba đỉnh tam giác bất kỳ, và cho x: y: z điểm bất kỳ có tọa độ tam tuyến; hệ thức của đường thẳng Euler là:

\sin 2A \sin(B - C)x + \sin 2B \sin(C - A)y + \sin 2C \sin(A - B)z = 0.\,

Một cách hữu hiệu khác để biểu diễn cho đường thẳng Euler là dùng tham số t. Bắt đầu với tâm đường tròn ngoại tiếp (với tọa độ là \cos A : \cos B : \cos C) và trực tâm (với tọa độ là \sec A : \sec B : \sec C = \cos B \cos C : \cos C \cos A : \cos A \cos B), bất cứ điểm này trên đường thẳng Euler có thể được biểu diễn dưới một hệ thức như sau

\cos A + t \cos B \cos C : \cos B + t \cos C \cos A : \cos C + t \cos A \cos B\,

úng mới một giá trị t' nhất định.

Ví dụ:

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Kimberling, Clark (1998). “Triangle centers and central triangles”. Congressus Numerantium 129: i–xxv, 1–295. 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]