Đạo hàm và vi phân của hàm số

Đạo hàm và vi phân là các khái niệm cơ bản trong toán học giải tích. Một phần của nó được giới thiệu trong chương trình trung học phổ thông.

Ý nghĩa hình học của khái niệm đạo hàm là ở chỗ nó biểu diễn tốc độ biến thiên của hàm số thông qua hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị biểu diễn hàm số. Về vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động với vận tốc không cố định.

Đạo hàm

Cho hàm số biến số thực $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ (khoảng $(a;b) = \{x \in \mathbb R | a <x< b \}$). Xét giá trị $x = x_0 \in (a;b)$ và giá trị $x \in (a; b) , x \ne x_0$.

Đặt Δx = x − x₀ thì x = x₀+Δx. Δx được gọi là số gia đối số.

Đặt Δy = f(x)-f(x₀). Δy được gọi là số gia hàm số.

Xét tỷ số $\frac {\Delta y}{\Delta x}$. Nếu khi Δx→0, tỷ số đó dần tới một giới hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x₀ kí hiệu là $f' (x)\,\!$ hay $\dot f(x)\,\!$

$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

Ví dụ, cho hàm số y=x². Xét điểm x₀ bất kỳ, và x≠x₀. Xét giới hạn của tỷ số

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(x_0+\Delta x)^2-{x_0}^2}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac {2\cdot x_0\cdot\Delta x+{\Delta x}^2}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} (2\cdot x_0+\Delta x)$

= 2 x₀

Khi x₀ thay đổi, ta ký hiệu tổng quát f'(x)= 2x.

Cho hàm số y=x. Xét điểm x₀ bất kỳ, và x≠x₀. Xét giới hạn của tỷ số

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(x_0+\Delta x)-{x_0}}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} 1$

= 1

Vậy f'(x₀)=1.

Vi phân

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0. Gọi Δx là số gia của biến số tại x0. Tích f'(x0).Δx được gọi là vi phân của hàm số f tại x0 ứng với số gia Δx (vi phân của f tại x0). Ký hiệu : df(x0) = f'(x0).Δx Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx = Δx. Do đó ta thay Δx = dx và có : df(x0) = f'(x0)dx

Xem thêm

• Tích phân

Liên kết ngoài

• Khái niệm vi phân
• Vi phân lớp
• Vi phân toàn phần
• Đạo hàm
• Đạo hàm cấp cao
• Đạo hàm một phía
• Đạo hàm riêng
• Đạo hàm theo hướng
• Đạo hàm toàn phần