Định lý phạm trù Baire

Định lý phạm trù Baire là định lý nền tảng của môn giải tích hàm cổ điển, mang tên nhà toán học Pháp René-Louis Baire (1874 - 1932).

Định lý này là một công cụ tổng quát trong toán học tô pô và giải tích hàm. Định lý có hai dạng, mỗi dạng cung cấp một điều kiện đủ để một không gian tô pô trở thành một không gian Baire

Phát biểu

• (ĐLB1): Mỗi không gian metric đủ khác trống là một không gian Baire.
  Tổng quát hơn, bất kì không gian tô pô nào là đẳng cấu với một tập con mở của một không gian giả metric đủ là một không gian Baire.
• (ĐLB2): Mọi không gian Hausdorff compact địa phương khác trống là không gian Baire.

Lưu ý

Không mệnh đề nào trong hai dạng trên là hệ quả của mệnh đề kia. Bởi vì tồn tại không gian metric đủ mà không compact địa phương (xem thêm không gian Baire của các số vô tỉ). Và ngược lại, tồn tại không gian Hausdorff compact địa phương mà không thể là metric (không gian không đếm được Fort). (Xem thêm Steen và Seebach trong phần tham khảo).

Quan hệ với tiên đề chọn

Các chứng minh của ĐLB1 và ĐLB2 đòi hỏi một số dạng của tiên đề chọn, và thực ra, mệnh đề cho rằng mọi không gian giả metric đủ là không gian Baire thì một cách lô gíc tương đương với một phiên bản yếu hơn của tiên đề chọn gọi là tiên đề chọn phụ thuộc. [1]

Ứng dụng

ĐLB1 được dùng để chứng minh định lý ánh xạ mở, định lý đồ thị đóng và nguyên lý bị chặn đều. ĐLB1 cũng chỉ ra rằng mọi không gian metric đủ mà không có các điểm cô lập thì không đếm được. ( Nếu $\mathbb{X}$ là một không gian metric đủ đếm được mà không có các điểm cô lập thì mỗi tập đơn nhất {x} trong $\mathbb{X}$ là không trù mật mọi nơi, và do đó $\mathbb{X}$ là thuộc về phạm trù thứ 1 trong chính nó. Một cách đặc biệt, điều này chứng tỏ rằng tật của tất cả các số thực là không đếm được.

ĐLB1 chỉ ra rằng các không gian sau đây là không gian Baire

• Không gian các số thực R
• Không gian các số vô tỉ.
• Tập hợp Cantor
• Mọi đa tạp
• Mọi không gian tô pô đẳng cấu với một không gian Baire.

Tham khảo

• Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-126-22760-8
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).