Định lý Green

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, định lý Green' đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín C vàa tích phân mặt trên một miền D bao quanh bởi C. Đây là trường hợp đặt biệt trong không gian 2 chiều của định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

C là một đường đơn đóngđịnh hướng dương trong mặt phẳng  \mathbb{R} 2, và D là miền được bao quanh bởi C. Nếu LM là các hàm số với biến (x, y) được định nghĩa trên miền mở chứa D và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì[1][2]

\oint_{C} (L\, \mathrm{d}x + M\, \mathrm{d}y) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y.

Mối liên hệ với định lý Stokes[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-xy:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần z luôn bằng 0. Gọi F là hàm số vector định nghĩa bởi \mathbf{F}=(L,M,0). Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \oint_{C} (L, M, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.

Theo định lý Stokes thì:

\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS.

Mặt S chỉ là một miền D trong mặt phẳng, với vector định chuẩn \mathbf{\hat n} hướng lên (theo hướng z) để trùng với "định hướng dương" trong cả 2 định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành

\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y}  - \frac{\partial M}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \mathbf{k} \right] \cdot \mathbf{k} = \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right).

Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green

\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA.

Mối liên quan với định lý Gauss[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều, định lý Green là tương đuơng với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:

\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds,

với \mathbf{\hat n} là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn \mathbf{\hat n} ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green d\mathbf{r} = ( dx, dy) là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc 90° về phía phải, và sẽ là ( dy, -dx). Chiều dài của vec tơ này là \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds. Do vậy \mathbf{\hat n}\,ds = ( dy, -dx).

Bây giờ hãy để \mathbf{F} = ( P, Q). Khi đó vế phải sẽ trở thành

\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds = \oint_C P dy - Q dx

mà do định lý Green sẽ trở thành

\oint_C -Q dx + P dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA.

Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.

Tính toán diện tích[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Green có thể được sử dụng để tính diện tích sử dụng tích phân đường.[3] Diện tích của miền D được cho bởi:

A = \iint_{D}\mathrm{d}A.

Miễn là chúng ta chọn được L và M sao cho:

\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = 1.

Diện tích sẽ được cho bởi công thức sau:

A = \oint_{C} (L\, \mathrm{d}x + M\, \mathrm{d}y).

Các công thức cho diện tích của D bao gồm:[3]

A=\oint_{C} x\, \mathrm{d}y = -\oint_{C} y\, \mathrm{d}x = \tfrac 12 \oint_{C} (-y\, \mathrm{d}x + x\, \mathrm{d}y).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  2. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
  3. ^ a ă Stewart, James. Calculus (ấn bản 6). Thomson, Brooks/Cole. 

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]