Định lý Helly

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Định lý Helly cho hình học phẳng: nếu trong một gia đình các tập hợp lồi, giao của mọi bộ ba tập đều khác rỗng, thì giao của tất cả các tập hợp đó là khác rỗng

Định lý Helly là một kết quả cơ bản trong hình học rời rạc về giao của các tập hợp lồi. Nó được phát hiện bởi Eduard Helly năm 1913,[1] nhưng chỉ được xuất bản năm 1923, khi các chứng minh khác của Radon (1921)König (1922) đã được đăng. Định lý Helly đưa ra khái niệm gia đình Helly.

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử

X_1,X_2,\dots,X_n

là các tập hợp lồi trong \Bbb{R}^d, trong đó  n > d . Nếu giao của mọi bộ d+1 tập là khác rỗng, thì giao của tất cả các tập hợp đó là khác rỗng, nghĩa là

\bigcap_{j=1}^n X_j\ne\varnothing.

Để áp dụng cho một số vô hạn các tập hợp cần có thêm tính chất compact: Nếu \{X_\alpha\} là các tập hợp lồi compact trong R^d và giao của mọi bộ không quá d+1 tập là khác rỗng thì giao của tất cả các tập hợp đó là khác rỗng.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Ta chứng minh phiên bản hữu hạn của định lý thông qua định lý Radon như trong chứng minh của Radon (1921). Từ đó ta có phiên bản vô hạn thông qua tính chất giao hữu hạn của không gian compact: giao của một gia đình các tập hợp là khác rỗng khi và chỉ khi mọi bộ hữu hạn các tập trong gia đình đó có giao khác rỗng.

Trước hết giả sử n=d+2. Theo giả thuyết của định lý, tồn tại điểm x_1 nằm trong giao của

X_2,X_3,\dots,X_n.

Tương tự như vậy, với mọi

j=2,3,\dots,n

tồn tại điểm x_j nằm trong giao của mọi X_i ngoại trừ X_j. Ta áp dụng định lý Radon cho tập

A=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}.

Theo định lý Radon, tồn tại hai tập hợp không giao nhau A_1,A_2\subset A sao cho bao lồi của A_1 giao với bao lồi của A_2. Giả sử p là điểm nằm trong phần giao của hai bao lồi. Ta sẽ chứng minh

p\in\bigcap_{j=1}^n X_j.

Thật vậy, xét j\in\{1,2,...,n\} bất kì. Phần tử duy nhất trong A có thể không nằm trong X_jx_j. Nếu x_j\in A_1, thì x_j\notin A_2, và do đó X_j\supset A_2. Do X_j lồi, nó cũng chứa bao lồi của A_2 và do đó p\in X_j. Tương tự như vậy, nếu x_j\notin A_1, thì X_j\supset A_1, và lập luận tương tự như trên, ta có p\in X_j. Do p nằm trong mọi X_j, nó nằm trong giao của chúng.

Ở trên ta giả sử x_1,x_2,\dots,x_n là các điểm khác nhau. Nếu điều này không đúng, chẳng hạn x_i=x_k cho hai số i\ne k nào đó, thì x_i nằm trong mọi tập X_j, và ta cũng kết luận giao của tất cả các tập hợp là khác rỗng. Như vậy ta đã chứng minh được định lý cho trường hợp n=d+2.

Giả sử n>d+2 và ta có giả thiết quy nạp là định lý đúng cho n-1. Chứng minh trên cho thấy mọi bộ d+2 tập có giao khác rỗng. Ta xét một gia đình các tập hợp mới trong đó X_{n-1}X_n được thay bằng

X_{n-1}\cap X_n.

Trong gia đình mới này, giao của mọi bộ d+1 tập là khác rỗng. Theo giả thiết quy nạp, giao của tất cả các tập hợp mới là khác rỗng. Do đó, giao của tất cả các tập hợp ban đầu cũng khác rỗng.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

Tài liệu tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]