Định lý Lester

Định lý Lester

Trong hình học Euclid, định lý Lester đặt theo tên của giáo sư nữ June Lester, người Canada, định lý này phát biểu rằng: Trong một tam giác không phải là tam giác cân, thì hai điểm Fermat, tâm đường tròn chín điểm, tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên đường tròn, được gọi là đường tròn Lester. Tâm đường tròn Lester được đánh số là $X_{1116}$ trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác. Gần đây Peter Moses mới tìm ra 21 tâm tam giác khác nằm trên đường tròn Lester, các điểm được đánh số trong từ điển Tâm tam giác được đánh số từ X(15535)-X(15555)

Chứng minh

Có rất nhiều chứng minh cho định lý Lester. Sau đây là hai chứng minh sử dụng tính chất đường hyperbol chữ nhật

Đường tròn Lester như một tính chất của đường hyperbol chữ nhật

Định lý Lester như một tính chất của đường hyperbol Kiepert

Trong bài báo của Paul Yiu đã đưa ra tổng quát của Bernard Gibert như sau .

Tất cả mọi đường tròn có đường kính là một dây cung của hyperbol Kiepert và vuông góc với đường thẳng Euler đều đi qua hai điểm Fermat.

Định lý Lester như một tính chất của đường hyperbol chữ nhật

Định lý Lester như một tính chất của đường hyperbol chữ nhật như sau:

Cho hai điểm $H$ và $G$ nằm trên một nhánh của một hyperbol chữ nhật, và

1-Cho hai điểm $F_{+}$ and $F_{-}$ đối xứng qua tâm của hyperbol này sao cho tiếp tuyến của hyperbol tại hai điểm đó song song với đường thẳng $HG$,

2-Cho hai điểm $K_{+}$ and $K_{-}$ nằm trên hyperbol sao cho giao điểm của tiếp tuyến của hyperbol là tại điểm $E$ nằm trên đường thẳng $HG$.

Nếu như đường thẳng $K_{+}K_{-}$ giao với đường thẳng $HG$ tại $D$, và trung trực của $DE$ giao với hyperbol tại $G_{+}$ and $G_{-}$, khi đó sáu điểm $F_{+},F_{-},E,F,G_{+},G_{-}$ nằm trên một đường tròn.

Mở rộng định lý Lester liên quan đến đường cong bậc ba Neuberg

Mở rộng định lý Lester kết hợp với đường cong Neuberg: $P,Q(P),X_{13},X_{14}$ lie on a circle

Mở rộng định lý Lester được đề xuất bởi Đào Thanh Oai liên quan đến đường cong Đường cong bậc ba Neuberg . Nội dung như sau:

Cho điểm $P$ nằm trên đường cong Neuberg, gọi $P_{a},P_{b},P_{c}$ lần lượt là ba điểm đối xứng của $P$ qua ba cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác. Khi đó theo tính chất của đường cong Neuberg thì ba đường thẳng $AP_{a},BP_{b},CP_{c}$ đồng quy, gọi điểm đồng quy này là $Q(P)$. Giả thuyết đó khẳng định hai điểm Fermat và $P,Q(P)$ cùng thuộc một đường tròn. Khi điểm $P$ trùng với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ thì đường tròn này là đường tròn Lester.

Xem thêm

• Đường tròn Parry
• Đường tròn van Lamoen
• Điểm Fermat

Tham khảo

• Clark Kimberling, "Lester Circle", Mathematics Teacher, volume 89, number 26, 1996.
• June A. Lester, "Triangles III: Complex triangle functions", Aequationes Mathematicae, volume 53, pages 4–35, 1997.
• Michael Trott, "Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry", Mathematica in Education and Research, volume 6, pages 15–28, 1997.
• Ron Shail, "A proof of Lester's Theorem", Mathematical Gazette, volume 85, pages 225–232, 2001.
• John Rigby, "A simple proof of Lester's theorem", Mathematical Gazette, volume 87, pages 444–452, 2003.
• J.A. Scott, "On the Lester circle and the Archimedean triangle", Mathematical Gazette, volume 89, pages 498–500, 2005.
• Michael Duff, "A short projective proof of Lester's theorem", Mathematical Gazette, volume 89, pages 505–506, 2005.
• Stan Dolan, "Man versus Computer", Mathematical Gazette, volume 91, pages 469–480, 2007.