Định lý Menelaus

Định lý Menelaus - trường hợp 1

Định lý Menelaus là một định lý về các tam giác trong hình học phẳng. Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó định lý phát biểu rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi $\frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}=1$
Chứng minh định lý:
Phần thuận: Giả sử D, E, F thẳng hàng. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Theo định lý talet ta có
$\frac{DB}{DC} = \frac{FB}{CG}$ (1) và $\frac{EC}{EA} = \frac{CG}{FA}$ (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế
$\frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA} = \frac{FB}{FA}$
Từ đó suy ra
$\frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}=1$
Phần đảo: Giả sử $\frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA} = 1$. Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên ta có $\frac{F'A}{F'B}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA} = 1$
Kết hợp giả thuyết suy ra $\frac{FA}{FB} = \frac{F'A}{F'B}$
Hay $\frac{FA}{F'A} = \frac{FB}{F'B} = \frac{FA - FB}{F'A - F'B} = \frac{AB}{AB} = 1$
Nên F'A = FA và F'B = FB
Do đó F' trùng với F.
Vậy định lý đã được chứng minh.