Định lý Viète

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng ViệtVi-ét), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó.

Phương trình bậc hai[sửa | sửa mã nguồn]

Trong trường hợp phương trình bậc hai, công thức Viète được ghi như sau:

Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình
ax^2+bx+c=0, \, a \neq 0
thì

\begin{cases}
{x_1 x_2 = P = c/a}\\
{x_1 + x_2 = S = -b/a}\\
\end{cases}

Phương trình đa thức bất kỳ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho phương trình:

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = 0, \, a_n \neq 0

Cho x1, x2,..., xnn nghiệm của phương trình trên, thì:

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n = a(x-x_1) (x-x_2) ... (x-x_n)\,

Nhân toàn bộ vế phải ra, chúng ta sẽ có công thức Viète, được phát biểu như sau:


\begin{cases} 
{a = a_n}\\
{-a (x_1 + x_2 + ... + x_n) = a_{n-1}}\\
{\ldots}\\
{\ldots}\\
{(-1)^{n-1} a (x_1 x_2 ... x_{n-1} + x_1 x_2 ... x_{n-2} x_n + ... + x_2 x_3 ... x_n) = a_1}\\
{(-1)^{n} a (x_1 x_2 ... x_n) = a_0}\\
\end{cases}
và trong hàng k bất kỳ, vế phải của đẳng thức là a_{n-k}\, còn vế trái được tính như sau:
  • (-1)^{n-k} a\,
nhân với
  • Tổng của: các tích từng cụm (n-k) các nghiệm của phương trình trên.

Thí dụ phương trình bậc 3[sửa | sửa mã nguồn]

- Nếu x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\,

thì công thức Viète (sau khi chia đều hai bên cho a3 tức a, và chuyển dấu trừ nếu có qua vế phải) cho ta:


\begin{cases}
{x_1 + x_2 + x_3 = -b/a}\\
{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = c/a}\\
{x_1 x_2 x_3 = -d/a}\\
\end{cases}

Áp dụng[sửa | sửa mã nguồn]

  • Trong trường hợp phương trình bậc hai, định lý Viète thường được dùng để tính nhẩm nghiệm số nguyên (nếu có) của phương trình. Thí dụ: Có thể nhẩm tính phương trình:x^2-5x+6=0 có hai nghiệm là 2 và 3 vì 2+3=5 và 2.\,3 = 6.
  • Định lý Viète cho phương trình bậc 3 hay cao hơn thường ít thấy trong toán học nghiên cứu, nhưng ngược lại khá quen thuộc trong các kỳ thi Olympic toán học.

Định lý Vi-ét được ứng dụng rất nhiều trong chương trình toán học học kỳ 2,lớp 9 tại Việt Nam.