Định lý con bướm

Minh họa định lý con bướm.

Định lý con bướm là tên gọi một định lí trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Chứng minh

Gọi $X'$ và $X''$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi $Y'$ và $Y''$ lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

Chứng minh của định lý con bướm.

Do

$\triangle MXX' \sim \triangle MYY'$

${MX \over MY} = {XX' \over YY'}$

$\triangle MXX'' \sim \triangle MYY''$

${MX \over MY} = {XX'' \over YY''}$

$\triangle AXX' \sim \triangle CYY''$

${XX' \over YY''} = {AX \over CY}$

$\triangle DXX'' \sim \triangle BYY'$

${XX'' \over YY'} = {DX \over BY}$

Từ các đẳng thức trên, ta có

$\left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY' } .{XX'' \over YY''}= {AX.DX \over CY.BY}$

$= {PX.QX \over PY.QY}$ (xem Phương tích)

$= {(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)}={PM^2-MX^2 \over PM^2-MY^2}$ (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

${MX^2 \over MY^2} = {PM^2 - MX^2 \over PM^2 - MY^2}={PM^2 \over PM^2}=1$

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Liên kết ngoài

• Định lí con bướm tại cut-the-knot.
• Một định lí con bướm tổng quát hơn tại cut-the-knot.
• Chứng minh Định lí con bướm tại PlanetMath.
• Weisstein, Eric W., "Butterfly Theorem" từ MathWorld.