Ma trận Cauchy

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
(đổi hướng từ Định thức Cauchy)
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, một ma trận Cauchy, được đặt tên theo tên nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, là một ma trận m×n với các phần tử aij ở dạng


a_{ij}={\frac{1}{x_i-y_j}};\quad x_i-y_j\neq 0,\quad 1 \le i \le m,\quad 1 \le j \le n

với x_iy_j là các phần tử thuộc Trường (đại số) \mathcal{F}, và (x_i)(y_j) là các dãy đơn ánh (chúng không chứa các phần tử lặp lại; các phần tử là riêng biệt nhau).

Ma trận Hilbert là trường hợp đặc biệt của ma trận Cauchy với

x_i-y_j = i+j-1. \;

Mỗi ma trận con của ma trận Cauchy cũng là một ma trận Cauchy.

Định thức Cauchy[sửa | sửa mã nguồn]

Các số a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n là các số thực cho trước sao cho a_i+b_j\not=0\forall i,j.

Định thức Cauchy (Cô-si) được định nghĩa như sau:


D=\begin{vmatrix}
\frac{1}{a_1+b_1} & \frac{1}{a_1+b_2} & \ldots & \frac{1}{a_1+b_n}\\
\frac{1}{a_2+b_1} & \frac{1}{a_2+b_2} & \ldots & \frac{1}{a_2+b_n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{1}{a_n+b_1} & \frac{1}{a_n+b_2} & \ldots & \frac{1}{a_n+b_n}\\
\end{vmatrix}

Tính được:

D=\frac{\prod_{i\not=j}(a_j-a_i)\prod_{i\not=j}(b_j-b_i)}{\prod_{i,j}(a_i+b_j)}

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]