Đồ thị hai phía

Trong Lý thuyết đồ thị, đồ thị hai phía (tiếng Anh: bipartite graph) là một đồ thị đặc biệt, trong đó tập các đỉnh có thể được chia thành hai tập không giao nhau thỏa mãn điều kiện không có cạnh nối hai đỉnh bất kỳ thuộc cùng một tập.

Đồ thị hai phía xuất hiện trong các bài toán dùng đồ thị biểu diễn quan hệ hai ngôi giữa hai tập A và tập B không giao nhau. Một ví dụ cho quan hệ này là quan hệ hôn nhân giữa hai tập hợp người nam và nữ.

Định nghĩa

Một đồ thị đơn vô hướng $G:=(V,E)$ được gọi là hai phía nếu tồn tại một phân hoạch của tập đỉnh $V=V_1 \cup V_2$ sao cho $V_1$ và $V_2$ là các tập độc lập. Ta thường viết $G:=(V_1 + V_2, E)$ để ký hiệu một đồ thị hai phía với các phân hoạch $V_1$ và $V_2$. Nếu $|V_1|=|V_2|$ thì $G$ được gọi là đồ thị hai phía cân bằng.

Ứng dụng

Đồ thị hai phía thường được dùng để mô hình các bài toán ghép cặp (matching problem). Một ví dụ bài toán phân công công việc. Giả sử ta có một nhóm người P và một tập công việc J, trong đó không phải ai cũng hợp với mọi công việc. Ta có thể mô hình bài toán bằng một đồ thị với tập đỉnh là P + J. Nếu người $p_i$ có thể làm công việc $j_i$, đồ thị sẽ có một cạnh nối giữa $p_i$ và $j_i$. Định lý hôn nhân cung cấp một đặc điểm của đồ thị hai phía: tồn tại cặp ghép hoàn hảo (perfect matching).

Đồ thị hai phía được sử dụng trong lý thuyết mã hóa (coding theory) hiện đại, đặc biệt khi giải mã các codeword nhận được từ kênh. Đồ thị nhân tử (factor graph) và đồ thị Tanner là các ví dụ.

Ví dụ

• cây là đồ thị hai phía
• đồ thị chu trình với số đỉnh là số chẵn là đồ thị hai phía

Tính chất

• một đồ thị là hai phía khi và chỉ khi nó không chứa chu trình lẻ
• kích thước của phủ đỉnh nhỏ nhất bằng kích thước của cặp ghép lớn nhất
• kích thước của tập độc lập lớn nhất cộng kích thước của cặp ghép lớn nhất bằng số đỉnh.
• trong đồ thị hai phía liên thông, kích thước của phủ cạnh nhỏ nhất bằng kích thước tập độc lập lớn nhất
• trong đồ thị hai phía liên thông, kích thước của phủ cạnh nhỏ nhất cộng kích thước của phủ đỉnh nhỏ nhất bằng số đỉnh.
• một đồ thị là hai phía khi và chỉ khi có thể tô màu nó bằng hai màu.

Xem thêm

• Đồ thị hai phía đầy đủ
• Dulmage-Mendelsohn Decomposition