Đa thức

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, đa thức trên một vành (hoặc trường) K là một biểu thức dưới dạng tổng đại số của các đơn thức. Mỗi đơn thức là tích của một phần tử (được gọi là hệ tử hoặc hệ số) thuộc K với các lũy thừa tự nhiên của các biến.

Trong chương trình giáo dục phổ thông, thường xét các đa thức trên trường số thực, trong những bài toán cụ thể có thể xét các đa thức với hệ số nguyên hoặc hệ số hữu tỷ.

Ví dụ: f (x, y, z) = 2 x2 y - 3 y2 + 5 y z - 2 là một đa thức, với x, yz là các biến.

Hàm số biểu diễn bởi một đa thức được gọi là hàm đa thức. Phương trình P = 0 trong đó P là một đa thức được gọi là phương trình đại số.

Các khái niệm cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn thức và đa thức[sửa | sửa mã nguồn]

Các biểu thức dạng

a \cdot x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}

trong đó a thuộc vành (trường) K, x1,x2,...,xm là các biến, các số mũ ki là số tự nhiên, được gọi là các đơn thức của m biến x1,x2,...,xm với hệ tử (hệ số) trong K. Tổng các số mũ của các biến trong đơn thức được gọi là bậc của đơn thức.

Các đơn thức của m biến có số mữ tương ứng của các biến bằng nhau, chỉ khác nhau phần hệ tử a được gọi là các đơn thức đồng dạng.

Tổng của một số hữu hạn các đơn thức trên vành (trường) K được gọi là đa thức trên vành (trường) K. Bậc cao nhất của các số hạng có mặt trong đa thức được gọi là bậc của đa thức. Như vậy đa thức của m biến là biểu thức dạng

P(x_1,x_2,...,x_m)= \sum_{i = 0}^{n} a_i \cdot x_1^{k_{i,1}}x_2^{k_{i,2}}...x_m^{k_{i,m}}

Đa thức trong đó tất cả các số hạng có cùng bậc k được gọi là đa thức đẳng cấp bậc k. Ví dụ: đa thức P(x) = x^2y -2xy^2 là đa thức đẳng cấp bậc 3 của hai biến x, y.

Vành đa thức[sửa | sửa mã nguồn]

Tập tất cả các đa thức của m biến P(x_1,x_2,...,x_m) trên vành K là một vành, ký hiệu là P[x_1,x_2,...,x_m]. Vành này được gọi là vành đa thức.

Nghiệm của đa thức[sửa | sửa mã nguồn]

Khi thay các biến (x_1,x_2,...,x_m) bằng bộ các giá trị (c_1,c_2,...,c_m) \in K^m và thực hiện các phép toán ta được kết quả là một phần tử  \in K^m , được gọi là giá trị của đa thức tại (c_1,c_2,...,c_m):

P(c_1,c_2,...,c_m)= \sum_{i = 0}^{n} a_i \cdot c_1^{k_{i,1}}c_2^{k_{i,2}}...c_m^{k_{i,m}}

Nếu P(c_1,c_2,...,c_m)=0 thì (c_1,c_2,...,c_m) được gọi là nghiệm của đa thức. Chúng còn được gọi là các không điểm của đa thức.

Các bài toán đầu tiên về đa thức là tìm các nghiệm của đa thức, cũng là nghiệm của phương trình đại số

P(x_1,x_2,...,x_m)=0

nên đa thức của m biến được nhiều người gọi là đa thức của m ẩn.

Cấu trúc dữ liệu biểu diễn đa thức trong khoa học máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Đa thức một biến[sửa | sửa mã nguồn]

Các đa thức của một biến (cũng được gọi là đa thức một ẩn)có dạng

p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_n x^n.

với các hệ số a_i \in \mathbb R là một đa thức một biến trên \mathbb R. Nếu an ≠ 0 thì p(x) là đa thức một biến bậc n.

Đa thức trên có thể viết ngắn gọn nhờ ký hiệu xich-ma là

p(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.

Các hàm đa thức trên trường số thực[sửa | sửa mã nguồn]

Các phương trình đại số một ẩn trên trường số thực[sửa | sửa mã nguồn]

Các phương trình đại số một ẩn trên trường số phức[sửa | sửa mã nguồn]

Đa thức hai biến[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm bậc hai hai biến[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình <bậc hai hai ẩn[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Chuyên khảo đa thức, Lê Hoành Phò
  • Đa thức, Phan Huy khải
Các chủ đề chính trong đại số
Các bất biến đại số | Các đa thức | Các đại số mang tên người | Các đẳng thức đại số | Các đường cong đại số | Các đường cong elíp | Các nhân thức | Các nhóm sóng | Các phép biến đổi đại số | Các phương trình đại số | Các tính chất đại số | Các tổng đại số | Cyclotomy | Dạng bình phương | Đại số homology | Đại số phi giao hoán | Đại số tuyến tính | Đại số tổng quát | Đại số véctơ | Đại số vô hướng | Hình học đại số | Lý thuyết giá trị | Lý thuyết mã hoá | Lý thuyết nhóm | Lý thuyết số | Lý thuyết trường đại số | Lý thuyết vòng