Đa thức Chebyshev

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Đa thức Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Nga Pafnuty Chebyshev, [1] là một dãy đa thức trực giao (tiếng Anh: orthogonal polynomials), và có liên quan đến công thức de Moivre (de Moivre's formula). Có thể xác định dãy đa thức này bằng công thức truy hồi, giống như số Fibonaccisố Lucas.

Có hai loại: đa thức Chebyshev loại I (kí hiệu là Tn) và đa thức Chebyshev loại II (kí hiệu là Un). Chữ T được dùng để kí hiệu vì, trong tiếng Pháp tên của Chebyshev viết là Tchebycheff và trong tiếng Đức là Tschebyscheff. Chữ n kí hiệu cho bậc của đa thức.

Đa thức Chebyshev đóng vai trò quan trọng trong lí thuyết gần đúng. Các nghiệm của đa thức Chebyshev loại I, còn được gọi là các điểm Chebyshev (Chebyshev node), được dùng trong đa thức nội suy. Nhờ có nó, mà sai số do hiệu ứng Runge là nhỏ nhất.

Trong phương trình vi phân, đa thức Chebyshev loại I và loại II lần lượt là nghiệm của 2 phương trình vi phân Chebyshev sau:

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 \,\!

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0 \,\!.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa theo công thức truy hồi[sửa | sửa mã nguồn]

Đa thức Chebyshev loại I xác định theo công thức truy hồi:


\begin{align}
T_0(x) & = 1 \\
T_1(x) & = x \\
T_{n+1}(x) & = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x).
\end{align}

Công thức tổng quát quy ước của Tn

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}. \,\!

Công thức mũ tổng quát

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) \frac{t^n}{n!} = {1 \over 2}\left( e^{(x-\sqrt{x^2 -1})t}+e^{(x+\sqrt{x^2 -1})t}\right). \,\!

Đa thức Chebyshev loại II xác định theo công thức truy hồi:


\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2x \\
U_{n+1}(x) & = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x).
\end{align}

Một công thức tổng quát của Un

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2 t x+t^2}. \,\!

Định nghĩa theo lượng giác[sửa | sửa mã nguồn]

Đa thức Chebyshev loại I có thể định nghĩa bằng lượng giác:

T_n(x)=\cos(n \arccos x)=\cosh(n\,\mathrm{arccosh}\,x) \,\!

hoặc là:

T_n(\cos(\vartheta))=\cos(n\vartheta) \,\!

với n = 0, 1, 2, 3,....

Định nghĩa theo lượng giác của đa thức Chebyshev loại II:

 U_n(\cos(\vartheta)) = \frac{\sin((n+1)\vartheta)}{\sin\vartheta} \,\!

công thức này khá giống với nhân Dirichlet (Dirichlet kernel) D_n(x) \,\!:

 D_n(x) = \frac{\sin((2n+1)(x/2))}{\sin (x/2)} = U_{2n}(\cos (x/2))\,\!.

Dễ thấy,  \cos(n\vartheta) là đa thức bậc n với  \cos(\vartheta) là biến. Đồng thời,  \cos(n\vartheta) cũng là phần thực trong công thức Moivre (de Moivre's formula).

Từ công thức tổng quát bằng lượng giác ở trên, có thể dễ dàng chứng minh công thức truy hồi:

 T_{n+1}(\cos(\vartheta)) = 2\cos(\vartheta)T_n(\cos(\vartheta)) - T_{n-1}(\cos(\vartheta)) = 2\cos(\vartheta) \cos(n \vartheta)) - \cos((n-1) \vartheta) = \cos((n+1)\vartheta) + \cos((n-1)\vartheta) - \cos((n-1)\vartheta) = \cos((n+1)\vartheta) \,\!

Sau đây, ta sẽ kiểm tra tính đúng đắn của định nghĩa đa thức Chebyshev theo lượng giác, với n = 0 và n = 1:

 T_0(\cos\vartheta) = \cos 0 \vartheta\ = 1 \,\!

và:

T_1(\cos\vartheta)=\cos\vartheta \,\!

và với đa thức Chebyshev bậc 2 và 3:


\cos(2 \vartheta)=2\cos\vartheta \cos\vartheta - \cos 0 \vartheta = 2\cos^{2}\,\vartheta - 1 \,\!

\cos(3 \vartheta)=2\cos\vartheta \cos(2 \vartheta) - \cos\vartheta = 4\cos^3\,\vartheta - 3\cos\vartheta \,\!

tương tự cho các bậc cao hơn.

Một tính chất khá thú vị của đa thức Chebyshev:

T_n(T_m(x)) = T_{n\cdot m}(x).\,\!

Mối liên hệ giữa đa thức Chebyshev và số phức: cho z = a + bi,


\begin{align}
z^n & = |z|^n \left(\cos \left(n\arccos \frac a{|z|}\right) + i \sin \left(n\arccos \frac a{|z|}\right)\right) \\
& = |z|^n T_n\left(\frac a{|z|}\right) + ib\ |z|^{n - 1}\ U_{n-1}\left(\frac a{|z|}\right).
\end{align}

Định nghĩa theo phương trình Pell[sửa | sửa mã nguồn]

Trong vành R[x] (tập hợp các đa thức với hệ số thực),[1] đa thức Chebyshev được định nghĩa như nghiệm của phương trình Pell biến thể:

T_i^2 - (x^2-1) U_{i-1}^2 = 1 \,\!.

Sử dụng kĩ thuật giải phương trình Pell có tên là "nghiệm sinh từ nghiệm nhỏ nhất", suy ra công thức tổng quát sau:

T_i + U_{i-1} \sqrt{x^2-1} = (x + \sqrt{x^2-1})^i. \,\!

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức liên hệ (Transformation)[sửa | sửa mã nguồn]

Các công thức liên hệ:

T_n\left(1-2x^2\right)=(-1)^n T_{2n}(x) (trans.1)

U_n\left(1-2x^2\right) x= (-1)^n U_{2n+1}(x). (trans.2)

Nghiệm và cực trị[sửa | sửa mã nguồn]

Một đa thức Cheybyshev bậc n (cả hai loại) có n nghiệm thực phân biệt, gọi là nghiệm Chebyshev, các nghiệm này đều nằm trên khoảng [−1,1]. Các nghiệm này đôi khi được gọi là các điểm nút Chebyshev (tiếng Anh: Chebyshev nodes) bởi vì chúng được dùng trong đa thức nội suy. Sử dụng định nghĩa lượng giác của đa thức Chebyshev, với

\cos\left(\frac{\pi}{2}\,(2k+1)\right)=0

ta có thể chứng minh dễ dàng các nghiệm của Tn

 x_k = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2k-1}{n}\right),\quad k=1,\ldots,n.

Tương tự, các nghiệm của Un

 x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right),\quad k=1,\ldots,n.

Giá trị cực đại của đa thức Chebyshev loại I trên khoảng −1 ≤ x ≤ 1 bằng 1 và giá trị cực tiểu bằng -1. Đa thức Chebyshev chỉ có 2 giá trị tới hạn, giống như đặc tính của đa thức Shabat.

Cả 2 loại đa thức Chebyshev đều đạt cực trị tại 2 điểm đầu mút:

T_n(1) = 1\,
T_n(-1) = (-1)^n\,
U_n(1) = n + 1\,
U_n(-1) = (n + 1)(-1)^n.\,

Đạo hàm và tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Đạo hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Khi đạo hàm các đa thức Chebyshev trong dạng lượng giác, ta suy ra:

\frac{d T_n}{d x} = n U_{n - 1}\,
\frac{d U_n}{d x} = \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1}\,
\frac{d^2 T_n}{d x^2} = n \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}.\,

Điểm đặc biệt của \frac{d^2 T_n}{d x^2} (là giá trị mà khi thay vào làm cho nó có dạng 0/0 dạng không xác định(indeterminate form)) là x = 1 and x=-1. Tại đó \frac{d^2 T_n}{d x^2} bằng:

\frac{d^2 T_n}{d x^2} \Bigg|_{x = 1} \!\! = \frac{n^4 - n^2}{3},
\frac{d^2 T_n}{d x^2} \Bigg|_{x = -1} \!\! = (-1)^n \frac{n^4 - n^2}{3}.

Công thức tổng quát:

\frac{d^p T_n}{d x^p} \Bigg|_{x = \pm 1} \!\! = (\pm 1)^{n+p}\prod_{k=0}^{p-1}\frac{n^2-k^2}{2k+1}.

Kết quả này có ý nghĩa rất lớn trong tìm đáp số của giá trị đặc trưng.

Tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Tích phân của Un:

\int U_n\, dx = \frac{T_{n + 1}}{n + 1}\,

Tích phân của Tn:

\int T_n\, dx = \frac{1}{2} \left(\frac{T_{n + 1}}{n + 1} - \frac{T_{n - 1}}{n - 1}\right) = \frac{n T_{n + 1}}{n^2 - 1} - \frac{x T_n}{n - 1}.\,

Tính trực giao[sửa | sửa mã nguồn]

Dãy Tn và dãy Un đều là dãy đa thức trực giao.

Cụ thể hơn, các đa thức loại I, xác định trên khoảng mở (−1,1)với mật độ (Tiếng Anh: The polynomials of the first kind are orthogonal with respect to the weight): \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \,\! thì:

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\begin{cases}
0 &: n\ne m \\
\pi &: n=m=0\\
\pi/2 &: n=m\ne 0
\end{cases}

Tính chất trên được chứng minh bằng cách thay  x = \cos(\vartheta) và sử dụng đẳng thức

 T_n(\cos(\vartheta)) = \cos(n\vartheta) .

Tương tự các đa thức loại II xác định trên khoảng đóng [−1,1] với mật độ (tiếng Anh: The polynomials of the second kind are orthogonal with respect to the weight):\sqrt{1-x^2} \,\!

thì:

\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2}\,dx =
\begin{cases}
0 &: n\ne m, \\
\pi/2 &: n=m.
\end{cases}

(Chú ý giá trị lượng (weight) \sqrt{1-x^2} \,\! là mật độ của phân bố nửa đường tròn Wigner (tiếng Anh: Wigner semicircle distribution).

Đa thức Tn cũng thỏa mãn tính trực giao rời rạc (iếng Anh: discete orthogonality):

 \sum_{k=0}^{N-1}{T_i(x_k)T_j(x_k)} = 
\begin{cases}
0 &: i\ne j \\
N &: i=j=0 \\
N/2 &: i=j\ne 0
\end{cases} \,\!

với  x_k không điểm GaussLobatto thứ N của  T_N(x)

 x_k=\cos\left(\frac{\pi\left(k+\frac{1}{2}\right)}{N}\right) .

Định chuẩn nhỏ nhất[sửa | sửa mã nguồn]

Với số nguyên bất kì n ≥ 1, trong số các đa thức bậc n với hệ số bậc cao nhất bằng 1, đa thức sau:

f(x) = \frac{1}{2^{n-1}}T_n(x)

giá trị tuyệt đối lớn nhất trên đoạn [−1, 1] nhỏ nhất.

Trong công thức trên sở dĩ nhân  \frac{1}{2^{n-1}} với  T_n(x) là bởi vì hệ số bậc cao nhất của đa thức  T_n(x) luôn bằng  2^{n-1}.

Giá trị lớn nhất đó bằng:

\frac1{2^{n-1}}

và |ƒ(x)| đạt giá trị lớn nhất tại n + 1 điểm:

x = \cos \frac{k\pi}{n}\text{ for }0 \le k \le n.

Mối liên hệ với các loại đa thức khác[sửa | sửa mã nguồn]

Đa thức Chebyshev là trường hợp đặc biệt của Jacobi and đa thức Gegenbauer,

  • T_n(x)= \frac 1{{n-\frac 1 2 \choose n}} P_n^{-\frac 1 2, -\frac 1 2}(x)= \frac n 2 C_n^0(x),
  • U_n(x)= \frac 1{2{n+\frac 1 2 \choose n}} P_n^{\frac 1 2,  \frac 1 2}(x)= C_n^1(x).

Các tính chất khác[sửa | sửa mã nguồn]

Đa thức Chebyshev là trường hợp đặc biệt của đa thức Gegenbauer, đến lượt mình đa thức Gegenbauer lại là trường hợp đặc biệt của Jacobi.

Với số nguyên n bất kì, Tn(x) và Un(x) đều là đa thức bậc n.

Nếu n chẵn thì Tn(x) và Un(x) là hàm chẵn, nghĩa là chỉ có các hệ số tương ứng với bậc chẵn là khác 0.

Ví dụ:

 T_0(x) = 1 \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,.
 U_0(x) = 1 \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,.

Nếu n lẻ thì Tn(x) và Un(x) là hàm lẻ, nghĩa là chỉ có các hệ số tương ứng với bậc lẻ là khác 0.

Ví dụ:

 T_1(x) = x \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,.

Hệ số bậc cao nhất của Tn2n − 1 if 1 ≤ n, và 1 tương ứng với bậc bằng 0.

Tn là trường hợp riêng của đường cong Lissajous curve với tần số tỉ lệ (tiếng Anh: frequency ratio) là n.

Một số dãy đa thức khác, ví dụ đa thức Lucas (Ln), đa thức Dickson(Dn), và đa thức Fibonacci(Fn) có liên hệ với đa thức Chebyshev Tn and Un.

Đa thức Chebyshev loại I thỏa mãn công thức truy hồi sau:

 T_j(x) T_k(x) = \frac{1}{2}\left( T_{j+k}(x) + T_{|j-k|}(x)\right),\quad\forall j,k\ge 0,\,

với mọi j và k.

Đối với đa thức Chebyshev loại II là:

 U_j(x) U_k(x) = \left( U_{j+k}(x) + U_{|j-k|}(x)\right), \quad\forall j\ne 0, k\ne 0 .

Từ công thức:

 T_n(\cos\theta) = \cos(n \theta)

suy ra công thức sau:

 T_{2n+1}(\sin\theta) = (-1)^n \sin((2n+1)\theta) .

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Các đa thức Chebyshev loại I đầu tiên trong khoảng −1 < x < 1: Đồ thị của T0, T1, T2, T3, T4T5.

Các đa thức Chebyshev loại I đầu tiên:

 T_0(x) = 1 \,
 T_1(x) = x \,
 T_2(x) = 2x^2 - 1 \,
 T_3(x) = 4x^3 - 3x \,
 T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,
 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,
 T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,
 T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,
 T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,
 T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x. \,
Các đa thức Chebyshev loại II đầu tiên trong khoảng −1 < x < 1: Đồ thị của U0, U1, U2, U3, U4U5. Không thể hiện trong ảnh, Un(1) = n + 1 and Un(−1) = (n + 1)(−1)n.

Các đa thức Chebyshev loại II đầu tiên:

 U_0(x) = 1 \,
 U_1(x) = 2x \,
 U_2(x) = 4x^2 - 1 \,
 U_3(x) = 8x^3 - 4x \,
 U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1 \,
 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x \,
 U_6(x) = 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \,
 U_7(x) = 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \,
 U_8(x) = 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \,
 U_9(x) = 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x. \,

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]