Đa thức Jacobi

Đa thức Jacobi là một gia đình các đa thức trực giao định nghĩa trên đoạn [-1,1] và trực giao với tích vô hướng sau đây $(u,v):= \int_{-1}^{1} u(x) v(x) (1-x)^\alpha (1-x)^\beta,$ trong đó $\alpha$ và $\beta$ là 2 số dương cho trước.

Đa thức Jacobi có thể được viết dưới dạng

$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= (n+\alpha)! (n+\beta)! \sum_s \left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.$

Tổng trên chỉ số $s\,$ mở rộng ra các giá trị tự nhiên mà tham số trong giai thừa là không âm.