Bất đẳng thức Hölder

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Hölder, đặt theo tên nhà toán họcĐức Otto Hölder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian Lp: giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc Lp(S) và g thuộc Lq(S). Khi đó fg thuộc L1(S) và

\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.

Các số pq nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau.

Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian Lp, bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh Lpđối ngẫu với Lq.

Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý[sửa | sửa mã nguồn]

\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}
 \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \le \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q},\; \forall x \in l^p, y\in l^q.
  • Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có
\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}\cdot \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.
  • Trong trường hợp không gian xác suất (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) là các ký hiệu để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên với momentp hữu hạn,

\mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, trong đó \mathbb{E} là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Holder trở thành

 \mathbb{E}|XY| \le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left(\mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\; \forall X \in L^p, Y \in L^q.

Trường hợp tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp

Giả sử p_k\geq 1, k=1,\ldots n sao cho

 \sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k}=1

Giả sử u_k\in L^{p_k}(S). Khi đó ta có \prod_{k=1}^n u_k \in L^1(S)

 \left\|\prod_{k=1}^n u_k\right\|_{\displaystyle L^1(S)}\leq \prod_{k=1}^n \|u_k\|_{\displaystyle L^{p_k}(S)}

Tài liệu tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]