Bất đẳng thức Harnack

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Bất đẳng thức Harnack là một bất đẳng thức bắt nguồn từ giải tích.

Cho D=D(z_0,R) là một quả cầu mở và f là một hàm điều hòa trên D sao cho f(z) không âm với mọi z \in D. Khi đó bất đẳng thức sau đúng với mọi z \in D:

0\le f(z)\le \left( \frac{R}{R-\left|z-z_0\right|}\right)^2f(z_0).

Đối với miền tổng quát \mathbf{R}^n bất đẳng thức được phát biểu như sau: Nếu u(x) là hàm khả vi hai lần, điều hòa và không âm, \omega là một miền bị chặn với \bar{\omega} \subset \Omega, thì sẽ có một hằng số C không phụ thuộc vào \Omega sao cho  \sup_{x \in \omega} u(x) \le C \inf_{x \in \omega} u(x).