Bất đẳng thức Karamata

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Bất đẳng thức Karamata[1][2] là một bất đẳng thức được đặt tên theo nhà toán học Jovan Karamata[3]

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Cho tập I là một khoảng trên trục số thực và f là lồi trên tập I. Nếu x1,..., xny1,..., yn là các số trong tập I nhưng (x1,..., xn) trội hơn (y1,..., yn), thì

f(x_1)+\cdots+f(x_n) \ge f(y_1)+\cdots+f(y_n).

 

 

 

 

(1)

Ở đây, trội hơn có nghĩa rằng

x_1+\cdots+x_n=y_1+\cdots+y_n

 

 

 

 

(2)

và, sau khi gắn nhãn lại các con số trong tập x1,..., xny1,..., yn, lần lượt theo thứ tự giảm dần,

x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n    and    y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n,

 

 

 

 

(3)

chúng ta có

x_1+\cdots+x_i\ge y_1+\cdots+y_i     cho tất cả i ∈ {1,..., n − 1}.

 

 

 

 

(4)

Nếu f  là một hàm lồi thực sự thì bất đẳng thức (1) sẽ nhận dấu bằng khi và chỉ khi việc gắn nhãn lại theo (3), chúng ta có xi = yi cho tất cả i ∈ {1,..., n}.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Kadelburg, Zoran; Đukić, Dušan; Lukić, Milivoje; Matić, Ivan (2005), “Inequalities of Karamata, Schur and Muirhead, and some applications”, The Teaching of Mathematics 8 (1): 31–45, ISSN 1451-4966 
  2. ^ Cao Văn Nuôi; Nguyễn Quang Thi (2008). “Về bất đẳng thức Karamata và ứng dụng”. Tạp chí Khoa học Công nghệ (Đại học Đà Nẵng) 6 (9). Truy cập ngày 2 tháng 4 năm 2013. 
  3. ^ Karamata, Jovan (1932), “Sur une inégalité rélative aux fonctions convexes”, Publ. Math. Univ. Belgrade (bằng tiếng Pháp) 1: 145–148, Zbl 0005.20101