Bất đẳng thức Khinchin

Trong toán học, bất đẳng thức Khinchin, đặt theo tên của Aleksandr Khinchin là một định lý về xác suất, và thường được sử dụng trong giải tích. Ý tưởng về mặt định tính của bất đẳng thức là với mọi bộ $N$ số phức $x_1,\dots,x_N \in\mathbb{C}$, nếu nhân mỗi số với một dấu ngẫu nhiên $\pm 1$ rồi cộng lại, thì giá trị kì vọng của mô đun sẽ xấp xỉ bằng $\sqrt{|x_1|^{2}+\cdots + |x_N|^{2}}$.

Phát biểu định lý

Xét $N$ biến ngẫu nhiên độc lập $\{\epsilon_{n}\}_{n=1}^{N}$ cùng phân bố theo $P(\epsilon_n=\pm1)=\frac12$ với mọi $n=1\ldots N$, nghĩa là một dãy phân bố theo phân phối Rademacher. Xét $0<p<\infty$ và $x_1,...,x_N\in \mathbb{C}$. Khi đó

$A_p \left( \sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \leq \left(\mathbb{E}\Big|\sum_{n=1}^{N}\epsilon_{n}x_{n}\Big|^{p} \right)^{1/p} \leq B_p \left(\sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$

với hai hằng số $A_p,B_p>0$ chỉ phụ thuộc vào $p$ (trong đó $\mathbb{E}$ là giá trị kì vọng). Giá trị chặt của các hằng số $A_p,B_p$ được tìm ra bởi Haagerup (1982); xem thêm chứng minh đơn giản hơn ở Nazarov & Podkorytov (2000).

Ứng dụng trong giải tích

Bất đẳng thức này được sử dụng rộng rãi trong toán học chứ không chỉ ở lý thuyết xác suất. Một ví dụ sử dụng bất đẳng thức này trong giải tích là như sau: giả sử $T$ là một biến đổi tuyến tính giữa hai không gian L^p $L^p(X,\mu)$ đến $L^p(Y,\nu)$, $1\leq p<\infty$, với chuẩn bị chặn$\|T\|<\infty$, thì ta có thể dùng bất đẳng thức Khinchin để chứng minh

$\left\|\left(\sum_{n=1}^{N}|Tf_n|^{2} \right)^{\frac{1}{2}}\right\|_{L^p(Y,\nu)}\leq C_p\left\|\left(\sum_{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right\|_{L^p(X,\mu)}$

với hằng số $C_p>0$ chỉ phụ thuộc $p$ và $\|T\|$.

Xem thêm

• Bất đẳng thức Marcinkiewicz–Zygmund

Tài liệu tham khảo

1. Thomas Wolff (2003), Lectures on Harmonic Analysis, University Lecture Series 29, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3449-5 
2. Haagerup, Uffe (1982), “The best constants in the Khintchine inequality”, Studia Math. 70: 231–283 
3. Nazarov, Fedor; Podkorytov, Anatoliy (2000), “Ball, Haagerup, and distribution functions”, Complex analysis, operators, and related topics, Oper. Theory Adv. Appl. 113, Basel: Birkhäuser, tr. 247–267