Bất đẳng thức Khinchin

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, bất đẳng thức Khinchin, đặt theo tên của Aleksandr Khinchin là một định lý về xác suất, và thường được sử dụng trong giải tích. Ý tưởng về mặt định tính của bất đẳng thức là với mọi bộ  N số phức  x_1,\dots,x_N \in\mathbb{C}, nếu nhân mỗi số với một dấu ngẫu nhiên \pm 1 rồi cộng lại, thì giá trị kì vọng của mô đun sẽ xấp xỉ bằng  \sqrt{|x_1|^{2}+\cdots + |x_N|^{2}}.

Phát biểu định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Xét N biến ngẫu nhiên độc lập  \{\epsilon_{n}\}_{n=1}^{N} cùng phân bố theo P(\epsilon_n=\pm1)=\frac12 với mọi n=1\ldots N, nghĩa là một dãy phân bố theo phân phối Rademacher. Xét  0<p<\infty x_1,...,x_N\in \mathbb{C}. Khi đó

 A_p \left(\sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \leq \left(\mathbb{E}\Big|\sum_{n=1}^{N}\epsilon_{n}x_{n}\Big|^{p} \right)^{1/p}  \leq B_p \left(\sum_{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}

với hai hằng số  A_p,B_p>0 chỉ phụ thuộc vào p (trong đó \mathbb{E}giá trị kì vọng). Giá trị chặt của các hằng số A_p,B_p được tìm ra bởi Haagerup (1982); xem thêm chứng minh đơn giản hơn ở Nazarov & Podkorytov (2000).

Ứng dụng trong giải tích[sửa | sửa mã nguồn]

Bất đẳng thức này được sử dụng rộng rãi trong toán học chứ không chỉ ở lý thuyết xác suất. Một ví dụ sử dụng bất đẳng thức này trong giải tích là như sau: giả sử T là một biến đổi tuyến tính giữa hai không gian Lp  L^p(X,\mu) đến  L^p(Y,\nu) , 1\leq p<\infty, với chuẩn bị chặn \|T\|<\infty , thì ta có thể dùng bất đẳng thức Khinchin để chứng minh

 \left\|\left(\sum_{n=1}^{N}|Tf_n|^{2} \right)^{\frac{1}{2}}\right\|_{L^p(Y,\nu)}\leq C_p\left\|\left(\sum_{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right\|_{L^p(X,\mu)}

với hằng số C_p>0 chỉ phụ thuộc p\|T\|.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tài liệu tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Thomas Wolff (2003), Lectures on Harmonic Analysis, University Lecture Series 29, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3449-5 
  2. Haagerup, Uffe (1982), “The best constants in the Khintchine inequality”, Studia Math. 70: 231–283 
  3. Nazarov, Fedor; Podkorytov, Anatoliy (2000), “Ball, Haagerup, and distribution functions”, Complex analysis, operators, and related topics, Oper. Theory Adv. Appl. 113, Basel: Birkhäuser, tr. 247–267 

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]