Bất đẳng thức cộng Chebyshev

Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

và

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n,$

thì

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Tương tự, nếu

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$

và

$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n,$

thì

${1\over n} \sum_{k=1}^n a_kb_k \leq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right).$

Chứng minh [sửa]

Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức hoán vị.

Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau

$a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \,$

và

$b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n. \,$

Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,$

là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1 \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2 \,$

$\vdots \,$

$a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1} \,$

Cộng vế theo vế, ta có:

$n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n);$

chia cả hai vế cho $n^2$ , ta nhận được:

$\frac {(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)} {n} \geq \frac {(a_1 + \cdots + a_n)}{n} \cdot \frac {(b_1 + \cdots + b_n)}{n}.$

(điều phải chứng minh)