Bội số chung nhỏ nhất

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong số học, bội số chung nhỏ nhất (hay còn gọi tắt là bội chung nhỏ nhất, viết tắt là BCNN, tiếng Anh: least common multiple hoặc lowest common multiple (lcm) hoặc smallest common multiple) của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả ab. Tức là nó có thể chia cho ab mà không để lại số dư. nếu a hoặc b là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho a và b, khi đó quy ước rằng lcm(ab) là 0.

Định nghĩa trên đôi khi được tổng quát hoá cho hơn hai số nguyên dương: Bội chung nhỏ nhất của a1, ..., an là số nguyên dương nhỏ nhất là bội số của a1, ..., an.

Kí hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Bội số chung của 2 số a và b được kí hiệu là [a,b], BCNN(a,b) hoặc LCM(a,b).

Kí hiệu tương tự cho bội số chung nhỏ nhất của a1, ..., an.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Bội của 4 là:

0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44.........

(thêm 4 để được bội số tiếp theo).

Bội của 6 là:

0,6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78,...

(thêm 6 để được bội số tiếp theo).

Bội chung của 4 và 6 là các số cùng xuất hiện trong hai dãy trên:

12, 24, 36, 48,....

Vậy bội chung nhỏ nhất của 4 và 6 là 12

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Khi cộng, trừ hoặc so sánh các phân số, nó đặc biệt có ích khi tìm bội số chung của mẫu, thường gọi là mẫu số chung nhỏ nhất (hay mẩu chung nhỏ nhất).

{2\over21}+{1\over6}={4\over42}+{7\over42}={11\over42},

mẫu số 42 được sử dụng bởi vì nó là bội chung nhỏ nhất của 21 và 6.

Tính bội số chung nhỏ nhất[sửa | sửa mã nguồn]

Tính qua ước số chung lớn nhất[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức dưới đây chuyển từ việc tính bội số chung nhỏ nhất sang tính ước số chung lớn nhất (GCD):

\operatorname{LCM}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\operatorname{GCD}(a,b)}.

Có một thuật toán nhanh để tìm GCD mà không yêu cầu phần tích ra thừa số nguyên tố, đó là thuật toán Euclid. Ví dụ:

\operatorname{LCM}(21,6)
={21\cdot6\over\operatorname{GCD}(21,6)}
={21\cdot 6\over 3}={126\over 3}=42.

Bởi GCD(a, b) là ước số của cả ab, nên sẽ thuật lợi hơn nếu tính LCM bằng cách chia trước khi nhân:

\operatorname{LCM}(a,b)=\left({|a|\over\operatorname{GCD}(a,b)}\right)\cdot |b|=\left({|b|\over\operatorname{GCD}(a,b)}\right)\cdot |a|.

Điều này làm giảm kích thước đầu vào, giảm bộ nhớ cho các giá trị trung gian. Làm theo cách này thì ví dụ trên trở thành:

\operatorname{LCM}(21,6)={21\over\operatorname{GCD}(21,6)}\cdot6={21\over3}\cdot6=7\cdot6=42.

Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thể biểu diễn một cách duy nhất dạng tích các số nguyên tố (nếu không kể đến thứ tự của các thừa số). Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấu thành hợp số.

Ví dụ:

90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5. \,\!

Ở đây chúng ta có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử 2, hai nguyên tử 3 và một nguyên tử 5.

Kiến thức này có thể giúp chúng ta tìm LCM của một tập hợp các số.

Ví dụ: Tìm giá trị của LCM(8,9,21).

Đầu tiên, ta phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa các số nguyên tố.

8\; \, \; \,= 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \,\!
9\; \, \; \,= 2^0 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^0 \,\!
21\; \,= 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^1. \,\!

Với mỗi số nguyên tố, chọn lũy thừa cao nhất, tích của chúng cho ta giá trị LCM cần tìm. bốn thừa số nguyên tố 2, 3, 5 và 7, có bậc cao nhất lần lượt là 23, 32, 50, và 71. Do đó,

\operatorname{LCM}(8,9,21) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 7 = 504. \,\!

Thuật toán không thực sự hiệu quả bằng cách rút từ ước chung lớn nhất, bởi chưa có thuật toán hiệu quả để phân tích số nguyên, nhưng nó hiệu quả trong việc minh họa khái niệm.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

  • Tính chất giao hoán: \operatorname{LCM}(a, b) = \operatorname{LCM}(b, a).
  • Tính chất kết hợp: \operatorname{LCM}(a, \operatorname{LCM}(b, c)) = \operatorname{LCM}(\operatorname{LCM}(a, b), c).
  • Mối quan hệ với ước chung lớn nhất:
    \operatorname{LCM}(a,b)=\frac{a \cdot b}{\operatorname{GCD}(a,b)}.
  • Trong trường hợp ab nguyên tố cùng nhau, thì: \operatorname{LCM}(a, b) = a \cdot b.
  • Tính lcm của nhiều số thông qua cách tính lcm của hai số:
    • \operatorname{LCM}(a, b, c) = \operatorname{LCM}(\operatorname{LCM}(a, b), c);
    • \operatorname{LCM}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \operatorname{LCM}(\operatorname{LCM}(a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}), a_n).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]