Biến đổi tuyến tính

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, một phép biến đổi tuyến tính (còn được gọi là toán tử tuyến tính hoặc là ánh xạ tuyến tính) là một hàm giữa hai không gian vectơ mà bảo toàn được các thao tác cộng và nhân vô hướng vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn tổ hợp tuyến tính.

Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đẳng cấu giữa các không gian vectơ.

Định nghĩa và các hệ quả đầu tiên[sửa | sửa mã nguồn]

Một cách chính thức, nếu VW là các không gian vectơ trên cùng một trường, chúng ta nói rằng ánh xạ \mathbf{f}: V \rightarrow W là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ xy trong V và bất kỳ vô hướng a trong K, chúng ta có

\mathbf{f}(x \pm y)=\mathbf{f}(x) \pm \mathbf{f}(y) \, (tính kết hợp)
\mathbf{f}(ax)=a\mathbf{f}(x) \,               (tính thuần nhất).

Điều này có ý nghĩa tương đương với khảng định f   "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là, cho bất kỳ vector x1,..., xm và các vô hướng a1,..., am, chúng ta có

\mathbf{f}(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 \mathbf{f}(x_1)+\cdots+a_m \mathbf{f}(x_m).

Thông thường, VW có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu VW thuộc không gian trên trường K như xác định ở trên, chúng ta nói về K-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, liên hợp của một số phức là một R-ánh xạ tuyến tính CC, nhưng nó không phải là C-tuyến tính.

Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

  • Nếu A là một m × n ma trận, thì A định nghĩa một phép biến đổi tuyến tính từ Rn đến Rm bằng việc chuyển một vectơ cột xRn tới một vectơ cột AxRm. Tất cả các phép biến đổi tuyến tính giữa các không gian vectơ hữu hạn chiều xuất hiện theo cách này; xem thêm các mục sau.

Hạt nhân, ảnh và định lý về hạng[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu f: VW là tuyến tính, ta định nghĩa hạt nhân của f ký hiệu ker (f), ảnh của fhạng của f nhw sau:

\operatorname{\ker}(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}
\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in V\,\}

ker(f) là một không gian con của V và im(f) là không gian con của W. Công thức sau đây được xem định lý về số chiều:


  \dim(\ker(f)) 
+ \dim(\operatorname{im}(f)) 
= \dim(V) \,
Số dim(im(f)) cũng được gọi là hạng của f ký hiệu là rk(f),hoặc, ρ(f); còn số dim(ker(f)) được gọi là số vô hiệu (nullity) của f và ký hiệu là ν(f). Nếu VW là hữu hạn chiều, và f được biểu diễn bởi ma trận A, thì hạng và số vô hiệu của f tương ứng bằng hạng và số vô hiệu của ma trận A.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]