Black-Scholes

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Black-Scholes hay Black-Scholes-Merton là một mô hình toán học ứng dụng để định giá một số sản phẩm tài chính mà tiêu biểu là quyền chọn kiểu châu Âu. Mô hình được đưa ra bởi Fischer Black và Myron Scholes trong bài báo năm 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", xuất bản trong Journal of Political Economy.

Thuật ngữ Black–Scholes cũng được dùng để chỉ tới 3 khái niệm liên quan lẫn nhau:

  • Mô hình Black–Scholes là một mô hình toán học cho thị trường với 1 cổ phiếu, mà giá cổ phiếu đó là một quá trình ngẫu nhiên.
  • Phương trình Black–Scholes là một phương trình đạo hàm riêng mà giá của sản phầm phái sinh phải thỏa mãn.
  • Công thức Black–Scholes là kết quả giải của phương trình vi phân Black-Scholes cho put và call options theo kiểu châu Âu.

Công thức Black - Scholes[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức Black - Scholes được dùng để định giá quyền chọn châu Âu.

Giá của quyền chọn mua với các tham biến Black - Scholes là:

 C(t,S) = SN(d_1) - Ke^{-r(T - t)}N(d_2) \,
 d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}}
 d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}.

Giá của quyền chọn bán là:

 P(t,S) = Ke^{-r(T-t)}N(-d_2) - SN(-d_1). \

Với:

  • N(•) là hàm phân bổ tích lũy của phân phối chuẩn N(0, 1)
  • T - t là thời gian còn lại đến kì hạn.
  • S là giá giao ngay (spot price) của tài sải gốc.
  • K là giá điểm (strike price).
  • r là lãi suất không rủi ro.
  •  \sigma là biến động giá của tài sản gốc

Phương trình Black Scholes cho quyền chọn kiểu châu Âu[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Black Scholes là một phương trình đạo hàm riêng trong đó miêu tả sự phụ thuộc của giá một sản phầm phái sinh theo thời gian và theo sản phẩm sản phẩm nền(underlying asset). Phương trình như sau

\frac{\partial V}{\partial t}(t,S)+ r S\frac{\partial V}{\partial S}(t,S)+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}(t,S)-rV(t,S)=0 trên miền  S \in \left[ 0,+\infty  \right), t\in \left[ 0,T \right].

với ràng buộc payofff của sản phẩm phái sinh tại thời điểm đáo hạn T

V(T,S)=\Phi(S)

ví dụ

\Phi(S)=(S-K)_+ khi sản phẩm phái sinh là quyền chọn mua hoặc
\Phi(S)=(K-S)_+ trong trường hợp sản phẩm phái sinh là quyền chọn bán.

Phương trình Black Scholes cho quyền chọn kiểu châu Mỹ[sửa | sửa mã nguồn]

\left\{ \begin{align}
  & \min \left(\frac{\partial V}{\partial t}(t,S)+rS\frac{\partial V}{\partial S}(t,S)+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}(t,S)-rV(t,S), V(t,S)-\Phi (S) \right)=0, S\in \left[ 0,+\infty  \right),t\in \left[ 0,T \right] \\ 
 & V(T,S)=\Phi (S) \\ 
\end{align} \right.

Mô phỏng Monte Carlo[sửa | sửa mã nguồn]

Lược đồ \theta[sửa | sửa mã nguồn]

Ước lượng các tham số của mô hình[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo chính[sửa | sửa mã nguồn]

  • Black, Fischer; Myron Scholes (1973). “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”. Journal of Political Economy 81 (3): 637–654. doi:10.1086/260062.  [1] (Black and Scholes' original paper.)
  • Merton, Robert C. (1973). “Theory of Rational Option Pricing”. Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1): 141–183. doi:10.2307/3003143.  [2]

Các khía cạnh lịch sử và xã hội[sửa | sửa mã nguồn]

  • Bernstein, Peter. Capital Ideas: The Improbable Origins of Modern Wall Street. The Free Press. ISBN 0-02-903012-9. 
  • MacKenzie, Donald (2003). “An Equation and its Worlds: Bricolage, Exemplars, Disunity and Performativity in Financial Economics”. Social Studies of Science 33 (6): 831–868. doi:10.1177/0306312703336002.  [3]
  • MacKenzie, Donald; Yuval Millo (2003). “Constructing a Market, Performing Theory: The Historical Sociology of a Financial Derivatives Exchange”. American Journal of Sociology 109 (1): 107–145. doi:10.1086/374404.  [4]
  • MacKenzie, Donald. An Engine, not a Camera: How Financial Models Shape Markets. MIT Press. ISBN 0-262-13460-8. 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Discussion of the model[sửa | sửa mã nguồn]

Cách thiết lập phương trình và lời giải[sửa | sửa mã nguồn]

Thử nghiệm mô hình[sửa | sửa mã nguồn]

Mã máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Historical[sửa | sửa mã nguồn]