Phương trình Maxwell

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
(đổi hướng từ Các phương trình Maxwell)
Bước tới: menu, tìm kiếm
James Clerk Maxwell

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

Đây cũng chính là nội dung của thuyết điện từ học Maxwell.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình được xây dựng bởi James Clerk Maxwell, xuất hiện trên cơ sở một số khám phá thử nghiệm quan trọng đã được thực hiện vào đầu thế kỷ XIX. Trong năm 1820 Hans Christian Oersted phát hiện [1] mà truyền qua dây mạ nguyên nhân hiện tại đi lạc từ kim la bàn. Phát hiện này đã thu hút sự chú ý rộng rãi của các nhà khoa học của thời gian. Trong cùng 1820 sinh học và Savard nghiệm được biểu hiện [2] cho hiện tại được tạo ra bởi các cảm ứng từ (các Biot - pháp luật Savart), và Andre Marie Ampere phát hiện ra rằng sự tương tác xảy ra tại một khoảng cách giữa hai dây dẫn thông qua đó hiện nay được thông qua. Ampe đặt ra thuật ngữ " điện động "và đưa ra giả thuyết rằng từ trường tự nhiên do sự tồn tại trong dòng nam châm tròn [3].


Ảnh hưởng của hiện hành về nam châm, phát hiện Oersted, dẫn đầu bởi Michael Faraday ý kiến cho rằng không nên có một hiệu ứng ngược lại của dòng nam châm. Sau khi thử nghiệm rộng rãi, trong năm 1831, Faraday đã phát hiện ra rằng việc di chuyển một nam châm gần một dây dẫn tạo ra một dây dẫn dòng điện. Hiện tượng này được gọi là cảm ứng điện từ. Faraday giới thiệu khái niệm "lực trường" - một phương tiện giữa chi phí và dòng. Lập luận của ông là có tính chất định tính, nhưng họ đã có một tác động to lớn vào việc nghiên cứu của Maxwell.


Phát hiện của Faraday, nó trở nên rõ ràng rằng mô hình của điện (Ampe, Poisson et al.) không đầy đủ. Ngay sau đó, lý thuyết của Weber, dựa trên tầm xa. Tuy nhiên, do thời gian này toàn bộ vật lý, ngoại trừ các lý thuyết về lực hấp dẫn, chỉ xử lý với các lực lượng blizkodeystvennymi (quang học, nhiệt động lực học, cơ học chất lỏng và những người khác.). Gauss, Riemann, và một số nhà khoa học khác đã suy đoán rằng ánh sáng là điện từ trong tự nhiên, do đó, lý thuyết về điện từ hiện tượng cũng phải được blizkodeystvennoy. Nguyên tắc này đã trở thành một tính năng thiết yếu của lý thuyết Maxwell.


Trong "luận về Điện và Từ" nổi tiếng của ông (1873), Maxwell đã viết [4]:


Bắt Nghiên cứu của Faraday Lao động, tôi thấy rằng phương pháp của ông về sự hiểu biết các hiện tượng cũng là một toán học, mặc dù không được hiển thị dưới dạng ký hiệu toán học thông thường. Tôi cũng thấy rằng phương pháp này có thể được thể hiện dưới dạng toán học thông thường, và do đó để so sánh các phương pháp của các nhà toán học chuyên nghiệp.


Thay thế cụm từ Faraday "lực trường" trên khái niệm về "cường độ trường" Maxwell đã làm cho nó một mục tiêu quan trọng của lý thuyết [5]:


Nếu chúng ta chấp nhận phương tiện này như là một giả thuyết, tôi tin rằng nó sẽ chiếm một vị trí nổi bật trong cuộc điều tra của chúng tôi, và chúng ta nên cố gắng xây dựng một đại diện hợp lý của tất cả các chi tiết của hành động của mình, và đó là mục tiêu thường xuyên của tôi trong luận này.


Như điện động thứ tư là một khái niệm hoàn toàn mới cho vật lý Newton. Bài nghiên cứu sự tương tác giữa một cơ thể vật chất. Maxwell cũng viết một phương trình mà phải tuân theo môi trường xác định sự tương tác phí và các dòng, và hiện tại ngay cả trong sự vắng mặt của họ.



Một dòng điện tạo ra một mật độ từ thông (định luật Ampere của)

Phân tích thí nghiệm nổi tiếng, Maxwell có được một hệ phương trình cho các lĩnh vực điện và từ trường. Trong năm 1855, trong bài viết đầu tiên của mình, "Trên đường Faraday của lực lượng" [6] ("Về dòng của quân Faraday" [7]), lần đầu tiên được ghi lại trong các hình thức khác nhau của các phương trình điện động lực, nhưng không giới thiệu nhiều thiên vị hiện tại. Hệ thống này của các phương trình mô tả tất cả được biết đến vào thời điểm đó các dữ liệu thử nghiệm, nhưng không cho phép những chi phí liên quan và dòng và dự đoán các sóng điện từ [8]. Chuyển hiện lần đầu tiên được giới thiệu bởi Maxwell trong bài báo của ông "Về lý Ngành, nghề Force" [9] ("Về lý Ngành, nghề Force" [10]), bao gồm bốn phần và xuất bản năm 1861-1862, tương ứng. Khái quát pháp luật Ampere, Maxwell giới thiệu xu hướng hiện tại là khả năng để buộc các dòng và các chi phí bằng phương trình liên tục, mà đã được biết đến với đại lượng vật lý khác [8]. Vì vậy, bài viết này đã thực sự hoàn thành việc xây dựng hệ thống hoàn chỉnh các phương trình điện động lực. Các bài viết năm 1864, "lý thuyết động lực của trường điện từ" [11] ("Một lý thuyết động lực của trường điện từ" [12]) đã được xem xét trước đó xây dựng bởi các hệ phương trình của 20 phương trình vô hướng cho 20 ẩn số vô hướng. Trong bài viết này, Maxwell đầu tiên xây dựng các khái niệm của trường điện từ như là một thực tại vật lý trong đó có năng lượng riêng của mình và thời gian tuyên truyền hữu hạn, tính chất chậm phát triển của tương tác điện từ [8].



Xen kẽ từ thông sẽ tạo các điện trường (định luật Faraday)

Hóa ra là không chỉ hiện tại mà còn theo thời gian điện trường (xu hướng hiện tại) tạo ra một từ trường. Ngược lại, nhờ định luật Faraday, từ trường thay đổi một lần nữa tạo ra một điện. Kết quả là, trong không gian trống rỗng có thể được phân phối sóng điện từ. Từ phương trình Maxwell chỉ ra rằng tốc độ của nó là tốc độ ánh sáng, vì vậy Maxwell đã kết luận rằng bản chất điện từ của ánh sáng.


Một số nhà vật lý trái ngược với lý thuyết của Maxwell (đặc biệt là nhiều phản đối đưa các khái niệm về chuyển hiện hành). Helmholtz đề xuất lý thuyết của ông, một sự thỏa hiệp đối với các mô hình của Weber và Maxwell với, và hướng dẫn học sinh của mình Heinrich Hertz tổ chức xác minh thực nghiệm của nó. Tuy nhiên, các thí nghiệm của Hertz dứt khoát khẳng định tính đúng đắn của Maxwell.


Maxwell đã không sử dụng vector ký hiệu và viết phương trình của ông trong một đoạn video thành phần chứ không cồng kềnh. Trong chuyên luận của họ, [13] đó là, ngoài ra, một phần sử dụng quaternion xây dựng. Các hình thức hiện đại của phương trình Maxwell xuất hiện khoảng năm 1884 sau khi công việc của Heaviside, Hertz và Gibbs. Họ không chỉ viết lại hệ thống Maxwell ở dạng vector, mà còn symmetrized của mình, trình bày lại về lĩnh vực này bằng cách loại bỏ các điện và từ tính tiềm năng trong lý thuyết của Maxwell đã đóng một vai trò quan trọng, bởi vì họ cảm thấy rằng các chức năng này chỉ cần thiết trừu tượng toán học phụ trợ [14]. Điều thú vị là hỗ trợ vật lý hiện đại Maxwell, nhưng không chia sẻ thái độ tiêu cực của tín đồ đầu tiên của ông với tiềm năng. tiềm năng điện đóng một vai trò quan trọng trong vật lý lượng tử và được hiển thị số lượng như thể chất đo được trong một số thí nghiệm, ví dụ, trong các Aharonov - hiệu quả Bohm [15].


Hệ phương trình trong việc xây dựng Hertz và Heaviside một thời gian được gọi là phương trình của Hertz - Heaviside [16]. Einstein trong một bài báo kinh điển "Trên Điện động lực học của Di chuyển cơ quan" [17] gọi chúng là các phương trình Maxwell - Hertz. Đôi khi trong các tài liệu đó cũng là tên của phương trình Maxwell - Heaviside [18].


Phương trình Maxwell đã đóng một vai trò quan trọng trong sự xuất hiện của lý thuyết tương đối đặc biệt (STR). Joseph Larmor (1900) [19] và độc lập bởi Henrik Lorenz (1904) [20] tìm thấy một phối hợp chuyển đổi, thời gian và các lĩnh vực điện từ để phương trình Maxwell bất biến trong quá trình chuyển đổi từ một khung tham chiếu quán tính khác. Những biến đổi khác với những biến đổi Galilê của cơ học cổ điển, và với việc nộp Henri Poincaré [21], được gọi là phép biến đổi Lorentz. Họ đã trở thành nền tảng toán học của lý thuyết tương đối đặc biệt.


Công tác tuyên truyền của sóng điện từ với tốc độ ánh sáng ban đầu được hiểu như là một xáo trộn của môi trường, cái gọi là ether [22]. Nhiều nỗ lực đã được thực hiện (xem. tổng quan về lịch sử) để phát hiện các chuyển động của Trái đất so với ether, nhưng họ luôn luôn cho kết quả âm tính. [23] Vì vậy, Henri Poincaré phỏng đoán rằng nó là không thể tìm thấy một phong trào như vậy (nguyên lý tương đối). Ông cũng thuộc về các định đề của sự độc lập của tốc độ ánh sáng từ vận tốc của nguồn và đầu ra (cùng với Lorenz), dựa trên nguyên lý tương đối xây dựng như vậy, hình thức chính xác của các phép biến đổi Lorentz (trong trường hợp này đã được chứng minh và các thuộc tính nhóm các biến đổi). Hai giả thuyết (định đề) và hình thành cơ sở của bài viết của Albert Einstein (1905) [17]. Với sự giúp đỡ của họ, ông cũng mang lại các phép biến đổi Lorentz và phê duyệt theo nghĩa vật chất nói chung, nhấn mạnh khả năng sử dụng cho quá trình chuyển đổi của bất kỳ quy chiếu quán tính của các tài liệu tham khảo trong bất kỳ quán tính khác. Công việc này là trong thực tế, đánh dấu việc xây dựng các lý thuyết tương đối đặc biệt. Trong SRT biến đổi Lorentz phản ánh các thuộc tính chung của không gian và thời gian, và các mô hình trên thế giới là không cần thiết. Từ trường điện là các đối tượng độc lập tồn tại ngang bằng với các hạt vật chất.


Điện động lực cổ điển dựa trên phương trình Maxwell, là cơ sở cho nhiều ứng dụng kỹ thuật điện và vô tuyến điện, lò vi sóng và quang học. Cho đến nay đã được tìm thấy không có tác dụng, mà sẽ yêu cầu sửa đổi các phương trình. Họ là hữu ích trong cơ học lượng tử, nơi được coi là chuyển động, ví dụ, các hạt tích điện trong các lĩnh vực điện từ bên ngoài. Do đó, phương trình Maxwell là cơ sở của mô tả kính hiển vi của các tính chất điện của chất.


Phương trình Maxwell trong nhu cầu cũng trong vật lý thiên văn và vũ trụ học, như nhiều hành tinh và sao có một từ trường. Từ trường xác định, đặc biệt là các thuộc tính của các đối tượng như pulsar và chuẩn tinh.


Ở cấp độ hiện tại của sự hiểu biết của tất cả các hạt cơ bản là kích thích lượng tử ("lượng tử") của các lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, một photon  - một lượng tử của trường điện từ và điện tử  - photon trường spinor [24]. Vì vậy, cách tiếp cận lĩnh vực của Faraday và Maxwell đề xuất phát triển đáng kể, là nền tảng của vật lý hiện đại của các hạt cơ bản, bao gồm cả của mô hình chuẩn.


Trong lịch sử, sớm hơn một chút, ông đóng một vai trò quan trọng trong sự xuất hiện của cơ học lượng tử trong việc xây dựng Schrödinger và thường mở các phương trình lượng tử mô tả chuyển động của các hạt, trong đó có tương đối (Klein - Gordon phương trình, phương trình Dirac), mặc dù ban đầu tương tự với phương trình Maxwell chỉ được nhìn thấy trong hầu hết các ý tưởng chung, trong khi sau đó nó bật ra rằng nó có thể được hiểu như là một cụ thể và chi tiết hơn (như mô tả ở trên).


Ngoài ra, các phương pháp tiếp cận hiện trường, nói chung đi lại cho Faraday và Maxwell, là trung tâm của lý thuyết về lực hấp dẫn (bao gồm cả thuyết tương đối rộng).

Tóm tắt[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình được xây dựng bởi James Clerk Maxwell, xuất hiện trên cơ sở một số khám phá thử nghiệm quan trọng đã được thực hiện vào đầu thế kỷ XIX. Trong năm 1820 Hans Christian Oersted phát hiện [1] mà truyền qua dây mạ nguyên nhân hiện tại đi lạc từ kim la bàn. Phát hiện này đã thu hút sự chú ý rộng rãi của các nhà khoa học của thời gian. sinh họcSavardcác Biot - pháp luật SavartAndre Marie Amperesự tương tácAmpe đặt ra thuật ngữ " điện động"và đưa ra giả thuyết rằng từ trường tự nhiên do sự tồn tại trong dòng nam châm tròn [3].

Ảnh hưởng của hiện hành về nam châm, phát hiện Oersted, dẫn đầu bởi Michael Faraday ý kiến cho rằng không nên có một hiệu ứng ngược lại của dòng nam châm.Sau khi thử nghiệm rộng rãi, trong năm 1831, Faraday đã phát hiện ra rằng việc di chuyển một nam châm gần một dây dẫn tạo ra một dây dẫn dòng điện. Hiện tượng này được gọi là cảm ứng điện từ. Faraday giới thiệu khái niệm "lực trường" - một phương tiện giữa chi phí và dòng. Lập luận của ông là có tính chất định tính, nhưng họ đã có một tác động to lớn vào việc nghiên cứu của Maxwell.

Phát hiện của Faraday, nó trở nên rõ ràng rằng mô hình của điện (Ampe, Poisson et al.) không đầy đủ. Ngay sau đó, lý thuyết của Weber, dựa trên tầm xa. Tuy nhiên, do thời gian này toàn bộ vật lý, ngoại trừ các lý thuyết về lực hấp dẫn, chỉ xử lý với các lực lượng blizkodeystvennymi (quang học, nhiệt động lực học, cơ học chất lỏng và những người khác.). Gauss, Riemann, và một số nhà khoa học khác đã suy đoán rằng ánh sáng là điện từ trong tự nhiên, do đó, lý thuyết về điện từ hiện tượng cũng phải được blizkodeystvennoy. Nguyên tắc này đã trở thành một tính năng thiết yếu của lý thuyết Maxwell.

Trong "luận về Điện và Từ" nổi tiếng của ông (1873), Maxwell đã viết [4]:

Thay thế cụm từ Faraday "lực trường" trên khái niệm về "cường độ trường" Maxwell đã làm cho nó một mục tiêu quan trọng của lý thuyết [5]:

Như điện động thứ tư là một khái niệm hoàn toàn mới cho vật lý Newton. Bài nghiên cứu sự tương tác giữa một cơ thể vật chất. Maxwell cũng viết một phương trình mà phải tuân theo môi trường xác định sự tương tác phí và các dòng, và hiện tại ngay cả trong sự vắng mặt của họ.

Một dòng điện tạo ra một mật độ từ thông (định luật Ampere của)

Phân tích thí nghiệm nổi tiếng, Maxwell có được một hệ phương trình cho các lĩnh vực điện và từ trường. Trong năm 1855, trong bài viết đầu tiên của mình, "Trên đường Faraday của lực lượng" [6] ("Về dòng của quân Faraday" [7]), lần đầu tiên được ghi lại trong các hình thức khác nhau của các phương trình điện động lực, nhưng không giới thiệu nhiều thiên vị hiện tại. Hệ thống này của các phương trình mô tả tất cả được biết đến vào thời điểm đó các dữ liệu thử nghiệm, nhưng không cho phép những chi phí liên quan và dòng và dự đoán các sóng điện từ [8]. Chuyển hiện lần đầu tiên được giới thiệu bởi Maxwell trong bài báo của ông "Về lý Ngành, nghề Force" [9] ("Về lý Ngành, nghề Force" [10]), bao gồm bốn phần và xuất bản năm 1861-1862, tương ứng. Khái quát pháp luật Ampere, Maxwell giới thiệu xu hướng hiện tại là khả năng để buộc các dòng và các chi phí bằng phương trình liên tục, mà đã được biết đến với đại lượng vật lý khác [8]. Vì vậy, bài viết này đã thực sự hoàn thành việc xây dựng hệ thống hoàn chỉnh các phương trình điện động lực. Các bài viết năm 1864, "lý thuyết động lực của trường điện từ" [11] ("Một lý thuyết động lực của trường điện từ" [12]) đã được xem xét trước đó xây dựng bởi các hệ phương trình của 20 phương trình vô hướng cho 20 ẩn số vô hướng. Trong bài viết này, Maxwell đầu tiên xây dựng các khái niệm của trường điện từ như là một thực tại vật lý trong đó có năng lượng riêng của mình và thời gian tuyên truyền hữu hạn, tính chất chậm phát triển của tương tác điện từ [8].

Xen kẽ từ thông sẽ tạo các điện trường (định luật Faraday)

Hóa ra là không chỉ hiện tại mà còn theo thời gian điện trường (xu hướng hiện tại) tạo ra một từ trường. Ngược lại, nhờ định luật Faraday, từ trường thay đổi một lần nữa tạo ra một điện. Kết quả là, trong không gian trống rỗng có thể được phân phối sóng điện từ. Từ phương trình Maxwell chỉ ra rằng tốc độ của nó là tốc độ ánh sáng, vì vậy Maxwell đã kết luận rằng bản chất điện từ của ánh sáng.

Một số nhà vật lý trái ngược với lý thuyết của Maxwell (đặc biệt là nhiều phản đối đưa các khái niệm về chuyển hiện hành). Helmholtz đề xuất lý thuyết của ông, một sự thỏa hiệp đối với các mô hình của Weber và Maxwell với, và hướng dẫn học sinh của mìnhHeinrich Hertz tổ chức xác minh thực nghiệm của nó. Tuy nhiên, các thí nghiệm của Hertz dứt khoát khẳng định tính đúng đắn của Maxwell.

Maxwell đã không sử dụng vector ký hiệu và viết phương trình của ông trong một đoạn video thành phần chứ không cồng kềnh. Trong chuyên luận của họ, [13] đó là, ngoài ra, một phần sử dụng quaternion xây dựng. Các hình thức hiện đại của phương trình Maxwell xuất hiện khoảng năm 1884 sau khi công việc của Heaviside, Hertz và Gibbs. Họ không chỉ viết lại hệ thống Maxwell ở dạng vector, mà còn symmetrized của mình, trình bày lại về lĩnh vực này bằng cách loại bỏ các điện và từ tínhtiềm năng trong lý thuyết của Maxwell đã đóng một vai trò quan trọng, bởi vì họ cảm thấy rằng các chức năng này chỉ cần thiết trừu tượng toán học phụ trợ [14]. Điều thú vị là hỗ trợ vật lý hiện đại Maxwell, nhưng không chia sẻ thái độ tiêu cực của tín đồ đầu tiên của ông với tiềm năng. tiềm năng điện đóng một vai trò quan trọng trong vật lý lượng tử và được hiển thị số lượng như thể chất đo được trong một số thí nghiệm, ví dụ, trong các Aharonov - hiệu quả Bohm [15].

Hệ phương trình trong việc xây dựng Hertz và Heaviside một thời gian được gọi là phương trình của Hertz - Heaviside [16].Einstein trong một bài báo kinh điển "Trên Điện động lực học của Di chuyển cơ quan" [17] gọi chúng là các phương trình Maxwell - Hertz. Đôi khi trong các tài liệu đó cũng là tên của phương trình Maxwell - Heaviside [18].

Phương trình Maxwell đã đóng một vai trò quan trọng trong sự xuất hiện của lý thuyết tương đối đặc biệt (STR). Joseph Larmor (1900) [19] và độc lập bởi Henrik Lorenz (1904) [20] tìm thấy một phối hợp chuyển đổi, thời gian và các lĩnh vực điện từ để phương trình Maxwell bất biến trong quá trình chuyển đổi từ một khung tham chiếu quán tính khác. Những biến đổi khác với những biến đổi Galilê của cơ học cổ điển, và với việc nộp Henri Poincaré [21], được gọi là phép biến đổi Lorentz. Họ đã trở thành nền tảng toán học của lý thuyết tương đối đặc biệt.

Công tác tuyên truyền của sóng điện từ với tốc độ ánh sáng ban đầu được hiểu như là một xáo trộn của môi trường, cái gọi là ether [22]. Nhiều nỗ lực đã được thực hiện (xem. tổng quan về lịch sử) để phát hiện các chuyển động của Trái đất so với ether, nhưng họ luôn luôn cho kết quả âm tính. [23] Vì vậy, Henri Poincaré phỏng đoán rằng nó là không thể tìm thấy một phong trào như vậy (nguyên lý tương đối). Ông cũng thuộc về các định đề của sự độc lập của tốc độ ánh sáng từ vận tốc của nguồn và đầu ra (cùng với Lorenz), dựa trên nguyên lý tương đối xây dựng như vậy, hình thức chính xác của các phép biến đổi Lorentz (trong trường hợp này đã được chứng minh và các thuộc tính nhóm các biến đổi). Hai giả thuyết (định đề) và hình thành cơ sở của bài viết của Albert Einstein (1905) [17]. Với sự giúp đỡ của họ, ông cũng mang lại các phép biến đổi Lorentz và phê duyệt theo nghĩa vật chất nói chung, nhấn mạnh khả năng sử dụng cho quá trình chuyển đổi của bất kỳ quy chiếu quán tính của các tài liệu tham khảo trong bất kỳ quán tính khác. Công việc này là trong thực tế, đánh dấu việc xây dựng các lý thuyết tương đối đặc biệt. Trong SRT biến đổi Lorentz phản ánh các thuộc tính chung của không gian và thời gian, và các mô hình trên thế giới là không cần thiết. Từ trường điện là các đối tượng độc lập tồn tại ngang bằng với các hạt vật chất.

Điện động lực cổ điển dựa trên phương trình Maxwell, là cơ sở cho nhiều ứng dụng kỹ thuật điện và vô tuyến điện, lò vi sóng và quang học. Cho đến nay đã được tìm thấy không có tác dụng, mà sẽ yêu cầu sửa đổi các phương trình. Họ là hữu ích trong cơ học lượng tử, nơi được coi là chuyển động, ví dụ, các hạt tích điện trong các lĩnh vực điện từ bên ngoài. Do đó, phương trình Maxwell là cơ sở của mô tả kính hiển vi của các tính chất điện của chất.

Phương trình Maxwell trong nhu cầu cũng trong vật lý thiên văn và vũ trụ học, như nhiều hành tinh và sao có một từ trường.Từ trường xác định, đặc biệt là các thuộc tính của các đối tượng như pulsar và chuẩn tinh.

Ở cấp độ hiện tại của sự hiểu biết của tất cả các hạt cơ bản là kích thích lượng tử ("lượng tử") của các lĩnh vực khác nhau.Ví dụ, một photon  - một lượng tử của trường điện từ và điện tử  - photon trường spinor [24]. Vì vậy, cách tiếp cận lĩnh vực của Faraday và Maxwell đề xuất phát triển đáng kể, là nền tảng của vật lý hiện đại của các hạt cơ bản, bao gồm cả của mô hình chuẩn.

Trong lịch sử, sớm hơn một chút, ông đóng một vai trò quan trọng trong sự xuất hiện của cơ học lượng tử trong việc xây dựng Schrödinger và thường mở các phương trình lượng tử mô tả chuyển động của các hạt, trong đó có tương đối (Klein - Gordon phương trình, phương trình Dirac), mặc dù ban đầu tương tự với phương trình Maxwell chỉ được nhìn thấy trong hầu hết các ý tưởng chung, trong khi sau đó nó bật ra rằng nó có thể được hiểu như là một cụ thể và chi tiết hơn (như mô tả ở trên).

Ngoài ra, các phương pháp tiếp cận hiện trường, nói chung đi lại cho Faraday và Maxwell, là trung tâm của lý thuyết về lực hấp dẫn (bao gồm cả thuyết tương đối rộng).

Bảng sau đây tóm tắt các phương trình và khái niệm cho trường hợp tổng quát. Kí hiệu bằng chữ đậmvectơ, trong khi đó những kí hiệu in nghiêngvô hướng.

Tên Dạng phương trình vi phân Dạng tích phân
Định luật Gauss: \nabla \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_S  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV
Đinh luật Gauss cho từ trường
(sự không tồn tại của từ tích):
 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
Định luật Faraday cho từ trường: \vec \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
Định luật Ampere
(với sự bổ sung của Maxwell):
\vec \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} +
{d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}

Bảng sau đây liệt kê khái niệm của các đại lượng trong hệ đo lường SI:

Kí hiệu Ý nghĩa Đơn vị trong hệ SI
\mathbf{E} Cường độ điện trường volt / mét
\mathbf{H} Cường độ từ trường ampere / mét
\mathbf{D} Độ điện dịch
coulomb / mét vuông
\mathbf{B} Vectơ cảm ứng từ
tesla,
weber / mét vuông
\ \rho \ Mật độ điện tích,
coulomb / mét khối
\mathbf{J} Mật độ dòng điện,
ampere / mét vuông
d\mathbf{A} Vectơ vi phân diện tích A, có hướng vuông góc với mặt S mét vuông
 dV \  Vi phân của thể tích V được bao bọc bởi diện tích S mét khối
 d \mathbf{l} Vectơ vi phân của đường cong, tiếp tuyến với đường kính C bao quanh diện tích S mét
\nabla \cdot (còn gọi là div) toán tử tính suất tiêu tán: \nabla\cdot\textbf{a}=\left(\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial y}\right) trên mét
\vec \nabla \times (còn gọi là rot) toán tử tính độ xoáy cuộn của trường vectơ. trên mét

Các đại lượng DB liên hệ với EH bởi:

\mathbf{D} \ \ = \ \ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \ \ = \ \ (1 + \chi_e) \varepsilon_0 \mathbf{E} \ \   
= \ \ \varepsilon \mathbf{E}
\mathbf{B} \ \ = \ \  \mu_0 (\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ \  = \ \ (1 + \chi_m) \mu_0 \mathbf{H} \ \ 
=  \ \ \mu \mathbf{H}

trong đó:

 \chi_e hệ số cảm ứng điện của môi trường,

 \chi_m hệ số cảm ứng từ của môi trường,

εhằng số điện môi của môi trường, và

μhằng số từ môi của môi trường.

Khi hai hằng số ε and μ phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường, ta có hiện tượng phi tuyến; xem thêm trong các bài hiệu ứng Kerrhiệu ứng Pockels.)

Trong môi trường tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]

Trong môi trường tuyến tính, vectơ phân cực điện P (coulomb / mét vuông) và vectơ phân cực từ M (ampere / mét) cho bởi:

 \mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}
 \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}

Trong môi trường không tán sắc (các hằng số không phụ thuộc vào tần số của sóng điện từ), và đẳng hướng (không biến đổi đối với phép quay), ε và μ không phụ thuộc vào thời gian, phương trình Maxwell trở thành:

\nabla \cdot \varepsilon \mathbf{E} =  \rho
\nabla \cdot \mu \mathbf{H} = 0
\vec \nabla \times \mathbf{E} = - \mu \frac{\partial \mathbf{H}} {\partial t}
\vec \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

Trong môi trường đồng đều (không biến đổi đối với phép tịnh tiến), ε và μ không đổi theo không gian, và có thể được đưa ra ngoài các phép đạo hàm theo không gian.

Trong trường hợp tổng quát, ε và μ có thể là tensor hạng 2 mô tả môi trường lưỡng chiết. Và trong các môi trường tán sắc ε và/hoặc μ phụ thuộc vào tần số ánh sáng (sóng điện từ), những sự phụ thuộc này tuân theo mối liên hệ Kramers-Kronig.

Trong chân không[sửa | sửa mã nguồn]

Chân không là môi trường tuyến tính, đồng đẳng (không biến đổi theo phép quay và phép tịnh tiến), không tán sắc, với các hằng số ε0μ0 (hiện tượng phi tuyến trong chân không vẫn tồn tại nhưng chỉ quan sát được khi cường độ ánh sáng vượt qua một ngưỡng rất lớn so với giới hạn tuyến tính trong môi trường vật chất).

\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E}
\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}

Đồng thời trong chân không không tồn tại điện tích cũng như dòng điện, phương trình Maxwell trở thành:

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{H} = 0
\vec \nabla \times \mathbf{E} =  - \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}} {\partial t}
\vec \nabla \times \mathbf{H} = \ \    \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}

Những phương trình này có nghiệm đơn giản là các hàm sin và cos mô tả sự truyền sóng điện từ trong chân không, vận tốc truyền sóng là:

c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}
Kí hiệu Tên Giá trị Đơn vị trong hệ SI
 c \  Vận tốc ánh sáng  2.998 \times 10^{8} mét trên giây
 \ \varepsilon_0 Độ điện thẩm chân không  8.854 \times 10^{-12} fara / mét
\  \mu_0 \ Độ từ thẩm chân không  4 \pi \times 10^{-7} henry / mét

Cụ thể[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Maxwell-Gauss[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Maxwell-Gauss thừa hưởng từ định lý Gauss mô tả liên hệ giữa thông lượng điện trường qua một mặt kín và tổng điện tích chứa trong mặt kín đó:

\oint_S  \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = \int_V \rho dV

Phương trình này nói lên rằng: mật độ điện tích là nguồn của điện trường. Nói cách khác, sự hiện diện của điện tích (vế phải) sẽ gây nên một điện trườngđiện cảm D thể hiện ở vế trái. Ví dụ: một điện tích điểm q nằm ở gốc tọa độ O. Định luật Coulomb cho biết trường tĩnh điện sinh ra bởi điện tích điểm này tại một điểm M trong không gian. Ta có \mathbf{OM} = \mathbf{r} = r \ \mathbf{u}_r với \mathbf{u}_r là vectơ li tâm có độ lớn đơn vị:

\mathbf{E}(M) \ = \ \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \, r^2 } \ \mathbf{u}_r

Trường tĩnh điện này thỏa mãn phương trình Maxwell-Gauss với mật độ điện tích:

\rho(\mathbf{r},t) \ = \ q \ \delta^{(3)}(\mathbf{r})

trong đó \delta^{(3)}(\mathbf{r})hàm delta Dirac ba chiều.

Bảo toàn thông lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Thông lượng của từ trường qua một mặt kín S luôn luôn bằng không:

\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0

Điều này chỉ ra sự không tồn tại của đơn cực từ. Tương tự như điện tích điểm cho điện trường trong định luật Gauss, đơn cực từ là nguồn điểm của từ trường và nó luôn bằng không. Trong thực tế, nguồn của từ trường là các thanh nam châm. Một thanh nam châm là một lưỡng cực từ bao gồm cực nam và cực bắc. Khi ta cắt thanh nam châm ra làm hai, ta sẽ thu được hai lưỡng cực từ chứ không phải là hai cực nam và bắc riêng biệt.

Phương trình Maxwell-Faraday[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Maxwell-Faraday hay Định luật cảm ứng Faraday (còn gọi là Định luật Faraday-Lenz) cho biết mối liên hệ giữa biến thiên từ thông trong diện tích mặt cắt của một vòng kín và điện trường cảm ứng dọc theo vòng đó.

\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{s} = -{d\Phi_B \over dt}

với E là điện trường cảm ứng, ds là một phần tử vô cùng bé của vòng kín và dΦB/dt là biến thiên từ thông.

Phương trình Maxwell-Ampere[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Định luật Ampere
.

Phương trình Maxwell-Ampere cho biết sự lan truyền từ trường trong mạch kín với dòng điện đi qua đoạn mạch:

\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = \mu_0 I_{\mathrm{enc}}

trong đó:

\mathbf{B}từ trường,

d\mathbf{s} là thành phần vi phân của mạch kín S,

I_{\mathrm{enc}} là dòng điện bao phủ bởi đường cong S,

\mu_0độ từ thẩm của môi trường,

\oint_Sđường tích phân theo mạch kín S.

Hệ đơn vị CGS[sửa | sửa mã nguồn]

Các phương trình trên được cho trong hệ đo lường quốc tế (viết tắt là SI). Trong hệ CGS (hệ xentimét-gam-giây), các phương trình trên có dạng sau:

 \nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho
 \nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\vec\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
\vec\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{ \partial \mathbf{E}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}

Trong chân không, các phương trình trên trở thành:

\nabla \cdot \mathbf{E} = 0
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0
\vec\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}
\vec\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

Phương trình truyền sóng[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình truyền sóng hay còn gọi là phương trình d'Alembert mô tả sự truyền đi của sóng điện từ trong môi trường.

Điện trường[sửa | sửa mã nguồn]

Bắt đầu từ phương trình:

\vec\nabla\times(\vec\nabla\times\textbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\textbf{E})-\vec\nabla^{2}\textbf{E}

Trong chân không (với mật độ điện tích bằng không), phương trình Maxwell - Gauss có dạng:

\nabla\cdot\textbf{E}=0

nên phương trình đầu tiên trở thành:

\vec\nabla\times(\nabla\times\textbf{E}) = -\vec\nabla^{2}\textbf{E} .

Quay sang phương trình Maxwell-Faraday:

\vec\nabla\times\textbf{E}=-\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}

Lấy rot hai vế, phương trình trên trở thành:

\vec \nabla\times\left(-\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}\right) = \vec \nabla\times(\vec \nabla\times\textbf{E}) = - \vec \nabla^2\textbf{E}

Theo định luật Schwartz ta có thể đổi thứ tự của đạo hàm theo không gian và đạo hàm theo thời gian (hai biến này hoàn toàn độc lập trong vật lý phi tương đối tính):

-\frac{\partial}{\partial t}(\vec \nabla\times\textbf{B}) = - \vec\nabla^2\textbf{E}

Cùng với mật độ điện tích, vectơ mật độ dòng điện trong chân không cũng bằng không \textbf{j} = \textbf{0} , nên phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

\vec \nabla\times\textbf{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}

nên cuối cùng ta thu được một phương trình đạo hàm riêng cấp hai cho vecto cường độ điện trường \textbf{E} với nghiệm có dạng dao động điều hòa:

\vec\nabla^2\textbf{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}

Trong một số sách, ta có thể thấy phương trình này được viết dưới dạng:

\Delta\textbf{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}

với toán tử \Delta=\vec \nabla^2.

Đây là phương trình truyền sóng điện từ (thành phần điện trường) trong chân không. Trong dạng 4 chiều, phương trình này đặc biệt gọn:

\Delta\textbf{E}=0.

Từ trường[sửa | sửa mã nguồn]

Hoàn toàn tương tự như trên cho từ trường, ta có:

\vec{rot}(\vec{rot}\vec{H}) = \vec{grad}(div \vec{H})-\vec{\nabla}^{2}\vec{H} = -\vec{\nabla}^{2}\vec{H}

Trong chân không mật độ dòng điện bằng không, phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

\vec{rot}\vec{H}=\epsilon_{0} \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}

Phương trình trên trở thành:

\vec{rot}(\epsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}) = - \vec{\nabla}^{2}\vec{H}

Theo định luật Schwartz ta co thể đổi thứ tự của đạo hàm theo không gian và đạo hàm theo thời gian:

\epsilon_{0}\frac{\partial} {\partial t}(\vec{rot}\vec{E})= - \vec{\nabla}^{2}\vec{H}

Theo định luật Maxwell-Faraday cho chân không ta có: \vec{rot}\vec{E}=-\mu_0 \frac{\partial\vec{H}}{\partial t}

Thu được:

\vec{\nabla}^{2}\vec{H} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{H}}{\partial t^{2}}

Đây là phương trình truyền sóng điện từ (thành phần từ trường) trong chân không.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]