Công thức Euler

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Công thức Euler.

Công thức Euler, hay còn gọi là đồng nhất thức Euler, là một công thức toán học trong ngành giải tích phức, được xây dựng bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức chỉ ra mối liên hệ giữa hàm số lượng giáchàm số mũ phức.

Cụ thể, với mọi số thực x, ta có:

 e^{ix} = cos(x) + i sin(x) \

Ở đây ecơ số logarit tự nhiên, i là đơn vị của số phức,: sin x \ và: cos x \ là các hàm số lượng giác.

Khai triển từ công thức trên, các hàm số: cos x \ và: sin x \ có thể được viết dưới dạng sau:

 cos(x) = (1/2)(e^{ix} + e^{-ix}) \
 sin(x) = (1/2i)(e^{ix} - e^{-ix}) \

Trường hợp đặc biệt: khi: x = \pi \ , ta có: e^{i \pi} = cos(\pi) + i sin(\pi) = -1 \ , từ đó dẫn đến công thức rút gọn nổi tiếng:

e^{i \pi} + 1 = 0 \

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Bằng cách sử dụng chuỗi Taylor[sửa | sửa mã nguồn]

Sau đây là một cách chứng minh công thức Euler bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Taylor cũng như các tính chất cơ bản về lũy thừa của số i:

i^0=1 \,
i^1=i \,
i^2=-1 \,
i^3=-i \,
i^4=1 \,
i^5=i \,

....

Các hàm ex, cos(x) và sin(x) (với giả sử xsố thực) có thể được viết như sau:

 e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
 \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
 \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

Do bán kính hội tụ của mỗi chuỗi nêu trên là vô hạn, chúng ta có thể thay thế x bởi iz, với z là số phức. Khi đó:

e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots
= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots
= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right)
= \cos (z) + i\sin (z) \,

Việc sắp xếp lại các số hạng là thích hợp do mỗi chuỗi đều là chuỗi hội tụ tuyệt đối. Lấy z = x là một số thực sẽ dẫn đến đẳng thức nguyên thủy mà Euler đã khám phá ra.

Bằng cách sử dụng phép tính vi tích phân[sửa | sửa mã nguồn]

Xét hàm số f  xác định bởi: f(x)=\frac{e^{ix}}{cosx+isinx}

Ta sẽ chứng minh rằng  \cos {x}+i\sin {x} \, khác 0 với mọi x

Thật vậy ; giả sử  \cos {x}+i\sin {x}=0 \, thì \cos {x}=-i\sin {x} \,; do đó  \cos^{2} {x}=-\sin^{2} {x} \, ; vậy \cos^{2} {x}+\sin^{2} {x}=0 \, (vô lý)

Do đó mẫu của: f \ khác 0

Bây giờ tính đạo hàm của: f \ theo qui tắc chia; dễ thấy f'(x)=0 \forall x

Vì vậy: f \ phải là hàm hằng; có nghĩa là với mọi: y \ thì

f(x)=f(y) \

Bây giờ cho:y=0 \ ta thấy:f(0)=1 \ ; do đó:f(x)=1 \forall x

vậy e^{ix}=cos{x}+isin{x} \forall x

Bằng cách sử dụng phương trình vi phân thường[sửa | sửa mã nguồn]

Xét hàm số f(x)  xác định bởi

f(x) \equiv e^{ix} .\

Chú ý rằng i  là hằng số, đạo hàm bậc nhất và bậc hai của f(x)  sẽ là

f'(x) = i e^{ix} \
f''(x) = i^2 e^{ix} = -e^{ix} \

do i^2 = -1 theo định nghĩa. Từ đó chúng ta xây dựng phương trình vi phân thường tuyến tính có bậc 2 như sau:

f''(x) = -f(x) \

hay

f''(x) + f(x) = 0. \

Đây là một phương trình vi phân thường bậc 2, do đó nó sẽ có hai nghiệm độc lập tuyến tính là:

f_1(x) = \cos(x) \
f_2(x) = \sin(x). \

Cả \cos(x) \sin(x) đều là các hàm số thực có đạo hàm bậc hai đồng nhất với giá trị âm của chính nó. Ngoài ra, bất kỳ một tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm của một phương trình vi phân thuần nhất cũng sẽ lại là một nghiệm của nó. Do vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã nêu là

f(x)\, = A f_1(x) + B f_2(x) \
= A \cos(x) + B \sin(x) \

với mọi hằng số A  B.  Tuy nhiên, không phải mọi giá trị của các hằng số này đều thỏa mãn điều kiện ban đầu của hàm f(x)  :

f(0) = e^{i0} = 1 \
f'(0) = i e^{i0} = i \ .

Các điều kiện ban đầu giống nhau này (áp dụng cho nghiệm tổng quát) sẽ dẫn đến

f(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A \
f'(0) = -A \sin(0) + B \cos(0) = B \

Từ đó cho

f(0) = A = 1 \
f'(0) = B = i \

và sau cùng là

f(x) \equiv e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x). \

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê