Cấp (lý thuyết nhóm)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ cấp (tiếng Anh: order) có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau:

  • cấp của một nhóm G chính là số phần tử của G;[1]
  • cấp của phần tử a trong nhóm G là số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn a^m=e, trong đó ephần tử đơn vị của nhóm G, a^m là tích (với phép toán trang bị cho nhóm G) của m phần tử a.

Ký hiệu cấp của nhóm Gord(G) hoặc |G|; cấp của phần tử a được kí hiệu là ord(a) hoặc |a|.

Cấp của nhóm và của phần tử có thể hữu hạn hoặc vô hạn ∞. Ví dụ tập hợp các số nguyên Z cùng với phép toán cộng + lập thành một nhóm có cấp bằng ∞ (vì Z có vô số phần tử).

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Bảng sau là bảng nhân cho các phần tử của nhóm đối xứng S_3:

e s t u v w
e e s t u v w
s s e v w t u
t t u e s w v
u u t w v e s
v v w s e u t
w w v u t s e

Nhóm S_3 có 6 phần tử, nên cấp của nó bằng 6:

ord(S_3)=6;

Cấp của các phần tử trong nhóm S_3:

  • phần tử đơn vị e có cấp bằng 1;
  • các phần tử s, t, w bình phương lên bằng e: s^2=t^2=w^2=e, nên chúng có cấp bằng 2;
  • các phần tử uv có cấp bằng 3; điều này có thể giải thích như sau: u^2=v nên u^3=uv=e, tương tự cho v..

Cấp và cấu trúc của nhóm[sửa | sửa mã nguồn]

Cấp của nhóm và cấp của phần tử trong nhóm nói lên rất nhiều điều về cấu trúc của chính nhóm đó.

Nếu cấp của nhóm G bằng 1 thì nó là nhóm tầm thường.

Nếu cấp của phần tử a bằng 1: a^1=e thì a chính là phần tử đơn vị của nhóm.

Nếu mọi phần tử a (khác phần tử đơn vị) của nhóm G đều bằng nghịch đảo của chính các phần tử đó (a^2=e) thì chúng đều có cấp bằng 2: ord(a)=2 và nhóm G là nhóm Abel, vì:

ab = (bb)ab(aa) = b(ba)(ba)a = b(ba)^2a = bea = ba .

Điều ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ nhóm cộng các số nguyên modulo Z_6 là nhóm Abel, nhưng không phải mọi phần tử của nó đều có cấp bằng 2, ví dụ phần tử 2 có cấp bằng 3: 2+2+2=0 \pmod{6}.

Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp được giải thích như sau:

nếu ta lấy nhóm xyclic sinh bởi phần tử g, kí hiệu là \langle g \rangle:
\langle g \rangle = \{ g^m | m \in \mathbb{Z} \},
thì cấp của nhóm \langle g \rangle chính bằng cấp của phần tử g:
\operatorname{ord}(\langle g \rangle)=\operatorname{ord}(g).

Định lý Lagrange[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Lagrange: Nếu Hnhóm con của G, và G có hữu hạn phần tử, thì H cũng hữu hạn và có cấp là ước số của cấp của G:

\frac {\operatorname{ord}(G)}{\operatorname{ord}(H)} là số tự nhiên và bằng bản số của nhóm thương (G:H)[2].

Từ định lý trên có thể suy ra, cấp của G chia hết cho cấp của mọi phần từ a thuộc G. Như đã xét trong ví dụ về nhóm S_3, ord(S_3)=6 chia hết cho 2 là cấp của s,t,w và 3 là cấp của u,v.

Các tính chất của cấp của phần tử[sửa | sửa mã nguồn]

Phần tử a và nghịch đảo của nó a^{-1} có cùng cấp:

\operatorname{ord}(a)=\operatorname{ord}(a^{-1}).

Nếu số nguyên k thỏa mãn: a^k=e thì cấp của a là ước của k. Nhận xét này được áp dụng rất nhiều trong số học sơ cấp.

Nếu a có cấp hữu hạn thì mọi lũy thừa nguyên của a cũng có cấp hữu hạn. Cấp của phần tử a^k được tính như sau:

\operatorname{ord}(a^k) = \frac{\operatorname{ord}(a)}{UCLN(\operatorname{ord}(a),k)} (kí hiệu UCLN(a,b) là ước số chung lớn nhất của ab).

Ví dụ:

\operatorname{ord}(2^2) = \frac{\operatorname{ord}(2)}{UCLN(\operatorname{ord}(2),2)} = \frac{4}{2} = 2.

Định lý Cauchy (định lý Côsi)[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Cauchy: phát biểu rằng:

Cho nhóm G hữu hạn. Nếu cấp của G chia hết cho p, và p là số nguyên tố, thì tồn tại ít nhất một phần tử a thuộc G có cấp bằng p.

Đồng cấu nhóm và cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho 2 nhóm GH, nếu fG → H là một đồng cấu, a là một phần tử thuộc G, cấp của a là hữu hạn. Khi đó \operatorname{ord}(f(a)) là ước của \operatorname{ord}(a).

Ví dụ:

  • Từ nhận xét trên, ta suy ra không tồn tại đồng cấu nhóm h: S3 → Z5, vì mọi phần tử khác 0 trong nhóm Z5 đều có cấp bằng 5 và 5 không phải là ước của 1,2,3 là cấp của các phần tử trong S3.

Bản số của nhóm con chuẩn tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo Dục, 1999, trang 23.
  2. ^ Lê Thanh Hà, Các cấu trúc đại số cơ bản, Nhà xuất bản Giáo Dục, 2000, trang 41

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]