Chặn Gilbert–Varshamov

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong lý thuyết mã hóa, chặn Gilbert–Varshamov (chứng minh bởi Edgar Gilbert[1] và một cách độc lập bởi Rom Varshamov[2]) là một giới hạn của các tham số của một (không nhất thiết tuyến tính). Nó còn được gọi là chặn Gilbert–Shannon–Varshamov (hay chặn GSV), nhưng tên gọi "chặn Gilbert–Varshamov" là phổ biến nhất. Varshamov chứng minh kết quả này bằng phương pháp xác suất. Xem thêm về chứng minh này ở chặn Gilbert–Varshamov cho mã tuyến tính.

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Đặt

A_q(n,d)

là số lớn nhất các mã tự của mã C trên bảng chữ cái kích thước q, độ dài n và khoảng cách nhỏ nhất d (có thể coi bảng chữ cái là trường \mathbb{F}_q gồm có q phần tử).

Khi đó:

A_q(n,d) \geq \frac{q^n}{\sum_{j=0}^{d-1} \binom{n}{j}(q-1)^j}.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Đặt C là một mã độ dài n, khoảng cách Hamming nhỏ nhất d với kích thước cực đại:

|C|=A_q(n,d).\,

Khi đó với mọi x\in\mathbb{F}_q^n , tồn tại một mã tự c_x \in C sao cho khoảng cách Hamming d(x,c_x) giữa xc_x thỏa mãn

d(x,c_x)\leq d-1

vì nếu không ta có thể thêm x vào tập hợp các mã tự mà vẫn duy trì khoảng cách nhỏ nhất d – mâu thuẫn với giả thiết về tính cực đại của |C|.

Do đó \mathbb{F}_q^n được phủ bởi hợp của các hình cầu bán kính d − 1 với tâm ở các điểm c \in C :

\mathbb{F}_q^n =\cup_{c \in C} B(c,d-1).\,

Mỗi hình cầu có chứa


\sum_{j=0}^{d-1} \binom{n}{j}(q-1)^j

điểm vì có thể chọn thay đổi không quá d-1 trong số n vị trí của mã tự (so với giá trị ở tâm hình cầu) và mỗi lần thay đổi có thể lựa chọn một trong q-1 giá trị mới. Do đó


\begin{align}
|\mathbb{F}_q^n| & = |\cup_{c \in C} B(c,d-1)| \\
\\
& \leq \sum_{c \in C} |B(c,d-1)| \\
\\
& = |C|\sum_{j=0}^{d-1} \binom{n}{j}(q-1)^j \\
\\
\end{align}

Nghĩa là:


A_q(n,d) \geq \frac{q^n}{\sum_{j=0}^{d-1} \binom{n}{j}(q-1)^j}

(Ở đây ta sử dụng tính chất: |\mathbb{F}_q^n|=q^n).

Chặn chặt hơn cho lũy thừa số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Khi q là lũy thừa số nguyên tố, có thể chứng minh chặn chặt hơn A_q(n,d)\ge q^k trong đó k là số nguyên lớn nhất thỏa mãn

q^k < \frac{q^n}{\sum_{j=0}^{d-2} \binom{n-1}{j}(q-1)^j}.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tài liệu tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Gilbert, E. N. (1952), “A comparison of signalling alphabets”, Bell System Technical Journal 31: 504–522 
  2. ^ Varshamov, R. R. (1957), “Estimate of the number of signals in error correcting codes”, Dokl. Acad. Nauk SSSR 117: 739–741 .