Chia hết

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong lý thuyết số, chia hết là một quan hệ hai ngôi trên tập các số nguyên. Quan hệ này cũng có thể mở rộng cho các phần tử trên một vành. Quan hệ chia hết gắn liền với nhiều khái niệm quan trọng trong lý thuyết số như số nguyên tố, hợp số, định lý cơ bản của số học...

Quan hệ chia hết trên tập số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hai số nguyên a, b. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a=b.q thì ta nói rằng a chia hết cho b, hay b chia hết a (kí hiệu b|a). Khi đó người ta cũng gọi abội số (hay đơn giản là bội) của b, còn bước số (hay đơn giản là ước) của a.

Ví dụ: 15 = 5.3, nên 15 chia hết cho 3, 3 chia hết 15, 15 là bội của 3, 3 là ước của 15.
Đặc biệt, số 0 chia hết cho mọi số khác không, số 1 chia hết mọi số nguyên, mỗi số nguyên khác 0 chia hết cho chính nó. Chính từ đó, mọi số nguyên khác 1 có ít nhất hai ước là 1 và chính nó. Nếu số nguyên b|a thì số đối của nó -b cũng là ước của a. Do đó trong nhiều trường hợp, nếu n à số tự nhiên, người ta chỉ quan tâm tới các ước tự nhiên của n. Một số tự nhiên khác 1, có đúng hai ước tự nhiên là 1 và chính nó được gọi là số nguyên tố.

Các số tự nhiên lớn hơn 1, không là số nguyên tố được gọi là hợp số.

Một ước số của n được gọi là không tầm thường nếu nó khác 1, -1, n, -n. Số nguyên tố thì không có ước số không tầm thường. 1, -1, n, -n là các ước tầm thường của n.

Định lí về phép chia có dư[sửa | sửa mã nguồn]

Cho a, b là hai số nguyên (b khác 0), khi đó tồn tại duy nhất hai số nguyên q, r sao cho a= bq+r với 0 ≤ r <|b|. Ta có a là số bị chia, b là số chia, q là thương số và r là số dư. Khi chia a cho b có thể có số dư là 0; 1; 2;...; |b|-1. (Kí hiệu |b| là giá trị tuyệt đối của b.)

Đặc biệt nếu r = 0 thì a = bq, khi đó a chia hết cho b.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

a) Nếu b|a và c|b thì c|a.

b) Nếu c|a, b|a và (b, c)=1 thì bc|a.

c) Nếu c|ab và (b, c)=1 thì c|a.

d) Trong n số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n (n≥1).

Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n thì được n số dư khác nhau từng đôi một. Trong đó có duy nhất một số dư bằng 0, tức là có duy nhất một số chia hết cho n.

e) Nếu m|a và m|b thì m|(a+b) và m|(a-b).

Chứng minh: Vì m|a nên a=m×n1, vì m|b nên b=m×n2 (n1, n2 là các số nguyên). Vậy a+b=m×(n1+n2) mà (n1+n2) là số nguyên nên m|(a+b).

Định lý cơ bản của số học[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý cơ bản của số học (hay định lý về sự phân tích duy nhất ra các thừa số nguyên tố) phát biểu như sau: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố, chẳng hạn

6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2 , \,\!
1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2 . \,\!

Một cách tổng quát: Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

n={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2} {\dots} {p_k}^{\alpha_k}

trong đó {p_1},{p_2}, ,{\dots}, {p_k} là các số nguyên tố. Vế phải của đẳng thức này được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n'.

Tập hợp các ước tự nhiên của số n[sửa | sửa mã nguồn]

Số các ước tự nhiên của số tự nhiên n[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số các ước tự nhiên của số tự nhiên n ký hiệu là \tau(n)

Cho số tự nhiên n> 1 với dạng phân tích tiêu chuẩn như trên. Khi đó mỗi ước b của n có dạng:

b={p_1}^{\beta_1}{p_2}^{\beta_2} {\dots} {p_k}^{\beta_k}

trong đó  0 \le \beta_i \le \alpha_i với mỗi 1 \le i \le k.

Do đó số tất cả các ước tự nhiên của n

 \tau(n) = (\beta_1 + 1) (\beta_2 + 1) \cdots (\beta_k + 1),
ví dụ: 6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2 , \,\!, nên số 6936 có số các ước tự nhiên là (3+1).(1+1).(2+1)=24.

Tổng các ước tự nhiên của số tự nhiên n[sửa | sửa mã nguồn]

Tổng các ước tự nhiên của số tự nhiên n được ký hiệu là σ(n).

Công thức tính σ(n) như sau

\sigma(n)= \frac {{p_1}^{\beta_1 + 1}-1} {{p_1}-1} \dot \frac {{p_2}^{\beta_2 + 1}-1} {{p_2}-1} \dots \frac {{p_k}^{\beta_k + 1}-1} {{p_k}-1}

Xem thêm: Hàm tống các ước

Các ước tự nhiên khác chính nó của n được gọi là ước chân chính của n. Nếu tổng các ước chân chính của số tự nhiên n bằng chính n hay \sigma (n) = 2\dot n thì n được gọi là số hoàn chỉnh.

Ví dụ:

Số 6 có các ước chân chính là 1,2, 36 = 1 + 2 + 3 nên 6 là số hoàn chỉnh.
Số 28 có các ước chân chính là 1,4, 7, 1428 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 nên 28 là số hoàn chỉnh.

Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên \mathbb{N}[sửa | sửa mã nguồn]

Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên \mathbb{N} là một quan hệ thứ tự bộ phận.

Trong \mathbb{N}, với hai phần tử a, b bất kỳ, khác không, tồn tại phần tử d trong \mathbb{N}cận dưới đúng của ab theo quan hệ chia hết, nghĩa là

  1. d|a và d|b; và
  2. với mọi d' thỏa mãn 1. d'|a và d'|b thì d'|d.

Phần tử này chính là ƯCLN(a, b). Tương tự, với hai số tự nhiên a, b bất kỳ, cùng khác không, tồn tại phần tử m trong \mathbb{N}cận trên đúng của ab theo quan hệ chia hết, nghĩa là

  1. a|m và b|m; và
  2. với mọi m' thỏa mãn 1. a|m' và b|m; thì m|m'.

Phần tử này chính là BCNN(a, b).