Chuỗi (toán học)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, một chuỗi (tiếng Anh: series) là một tổng của một dãy các biểu thức toán học.

Trong đa số các trường hợp sử dụng, các biểu thức trong chuỗi có thể được xây dựng bằng các công thức hay thuật toán hay thậm chí bằng số ngẫu nhiên.

Chuỗi có thể hữu hạn, có số các biểu thức là hữu hạn, hay vô hạn, có số lượng các biểu thức dài vô hạn. Chuỗi hữu hạn có thể được xử lý bằng các phép tính đại số sơ cấp. Trong khi đó các chuỗi vô hạn cần các công cụ giải tích trong các ứng dụng toán học.

Trong giải tích thường phân chia chuỗi thành chuỗi số và chuỗi hàm.

[sửa] Những tính chất căn bản

Chuỗi số có thể chứa các biểu thức thuộc một trong nhiều tập hợp bao gồm số thực, số phức và hàm. Định nghĩa dưới đây đúng với số thực, nhưng có thể được tổng quát hóa.

Cho một dãy số thực vô hạn ${a n}$ ,

$S_N =\sum_{n=0}^N a_n=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_N.$

được gọi là tổng hữu hạn đến N của dãy số ${a n}$ , hay tổng hữu hạn của chuỗi số. Một chuỗi số là một dãy các tổng hữu hạn ${S N}$ .

[sửa] Nhầm lẫn có thể có

Khi nói về chuỗi số, người ta có thể đang chỉ dãy các tổng hữu hạn ${S N}$ , hoặc nói về tổng của chuỗi số,

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

hay còn gọi là giới hạn của dãy các tổng hữu hạn (xem định nghĩa ở phần sau). Để phân biệt giữa hai khái niệm hoàn toàn khác biệt (một bên là chuỗi số, bên kia là tổng các giá trị), người ta đôi khi bỏ không viết các giới hạn (bên trên và bên dưới ký hiệu tổng), ví dụ như:

$\sum a_n,$

để chỉ chuỗi vô hạn. Chuỗi này có thể có hoặc không tương đương với một giá trị hữu hạn.

[sửa] Chuỗi hội tụ

Chuỗi ∑a_n được gọi là 'hội tụ' khi dãy các tổng hữu hạn ${S N}$ có một giới hạn hữu hạn. Nếu giới hạn của S_N là vô hạn hoặc không tồn tại, chuỗi số được gọi là phân kỳ. Khi giới hạn của một dãy các tổng vô hạn tồn tại, giới hạn đó được gọi là tổng của chuỗi số

$\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_n.$

Cách dễ nhất để một chuỗi vô hạn hội tụ là nếu a_n bằng không với mọi n đủ lớn. Dễ thấy một chuỗi số như vậy có thể được viết dưới dạng một tổng hữu hạn, cho nên chuyện dãy số đó là vô hạn không có ý nghĩa gì.

Tìm ra các giá trị của một chuỗi hội tụ kể cả khi tất cả các biểu thức đều khác không là tiêu điểm của việc nghiên cứu chuỗi. Xem xét ví dụ sau:

$1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots+ \frac{1}{2^n}+\cdots$

Có thể "hình dung" sự hội tụ của chuỗi trên trục số thực: ta có thể hình dung một đoạn thẳng có chiều dài bằng 2, trên đó lần lượt bôi đen các phần với chiều dài 1, ½, ¼, v.v. Luôn luôn còn chỗ để bôi đen phần tiếp theo vì phần đoạn thẳng còn lại luôn luôn bằng phần đoạn thẳng vừa đánh dấu. Thật vậy, khi ta đã bôi đen ½, ta vẫn còn một phần có chiều dài ½ chưa bị bôi đen, nên hoàn toàn có thể bôi đen tiếp ¼, và cứ như thế. Điều này không chứng minh rằng tổng này bằng 2 (mặc dù đúng là như thế), nhưng nó chứng minh rằng tổng này nhỏ hơn hoặc bằng 2. Nói cách khác, chuỗi này có giới hạn trên.

Toán học gia mở rộng đặc ngữ này để thể hiện các khái niệm khác, tương đương của chuỗi. Ví dụ, khi ta nói về số thực lặp phần thập phân, như:

$x = 0.111\dots$

thực ra ta đang nói về chuỗi số mà nó thể hiện (0.1 + 0.01 + 0.001 + …). Tuy nhiên, vì những chuỗi này luôn hội tụ về số thực (bởi tính toàn diện của số thực), nói về chuỗi số theo cách này cũng giống như nói về các số mà chúng thể hiện. Đặc biệt, không nên thấy bất hợp lý khi coi 0.111… và ¹/₉ là một. Lập luận rằng 9 × 0.111… = 0.999… = 1 không hiển nhiên, nhưng hoàn toàn chứng minh được một khi đã biết các định luật về giới hạn bảo toàn các phép tính số học. Xem 0.999... để biết thêm chi tiết.

[sửa] Một số dạng chuỗi vô hạn

Chuỗi hình học là chuỗi mà mỗi hạng tử của nó là tích của hạng tử đứng trước với một hằng số. Chẳng hạn:

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.$

Tổng quát, chuỗi hình học

$\sum_{n=0}^\infty z^n$

hội tụ nếu và chỉ nếu |z| < 1.

Chuỗi điều hòa là chuỗi

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.$

Chuỗi đan dấu là chuỗi trong đó các số hạng của nó đan dấu nhau. Chẳng hạn:

$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.$

Chuỗi

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}$

hội tụ nếu r > 1 và phân kỳ nếu r ≤ 1, nó là một mô tả tốt cho tiêu chuẩn hội tụ tích phân. Khi xem như một hàm của r, tổng của chuỗi này là hàm zeta của Riemann.

Chuỗi lồng nhau

$\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$

hội tụ nếu dãy b_n hội tụ tới giới hạn L khi n dần tới vô cực. Giá trị của chuỗi này là b₁ − L.

[sửa] Các tính chất của chuỗi

Chuỗi được phân loại không chỉ theo chúng hội tụ hay phân kỳ: chúng còn được phân biệt dựa vào các tính chất của các biểu thức a_n (hội tụ tuyệt đối hay có hội tụ có điều kiện); kiểu hội tụ của chuỗi (theo điểm hay đều); dạng của biểu thức a_n (số thực, cấp số, hàm lượng giác); vân vân.

[sửa] Biểu thức không âm

Khi a_n là một số thực không âm với mọi n, chuỗi các tổng một phần S_N không giảm dần. Do đó chuỗi ∑a_n với toàn biểu thức không âm hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổng một phần S_N bị giới hạn.

Ví dụ, chuỗi

$\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^2}$

hội tụ, do có bất đẳng thức

$\frac{1} {n^2} \le \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2-n}, \quad n \ge 2,$

và theo lập luận về chuỗi lồng nhau, các tổng một phần bị giới hạn bởi 2.

[sửa] Hội tụ tuyệt đối

Bài chi tiết: Hội tụ tuyệt đối

Một chuỗi

$\sum_{n=0}^\infty a_n$

được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi gồm toàn giá trị tuyệt đối của các biểu thức của nó

$\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|$

hội tụ. Có thể chứng minh rằng điều kiện này là đủ để không chỉ chuỗi gốc hội tụ về một giới hạn, mà cả các chuỗi tạo ra bằng cách sắp xếp lại các biểu thức của chuỗi gốc cũng hội tụ về cùng giới hạn đó.

[sửa] Hội tụ có điều kiện

Bài chi tiết: Hội tụ có điều kiện

Một chuỗi số thực hoặc số phức được gọi là hội tụ có điều kiện (hoặc hội tụ bán phần) nếu nó hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Một ví dụ nổi tiếng là chuỗi đan dấu

$\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \over n} = 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots$

Chuỗi này hội tụ (có tổng các biểu thức đúng bằng ln 2), nhưng chuỗi gồm toàn giá trị tuyệt đối của mỗi biểu thức của chuỗi này lại là chuỗi phân kỳ (xem chuỗi điều hòa). Định lý chuỗi Riemann nói rằng bất cứ chuỗi nào hội tụ có điều kiện đều có thể được sắp xếp lại để trở thành một chuỗi phân kỳ, hơn nữa, nếu a_n là số thực thì ta có thể tìm được một cách sắp xếp sao cho chuỗi mới hội tụ và có tổng bằng bất kỳ số thực S nào.

Abel's test is an important tool for handling semi-convergent series. If a series has the form

$\sum a_n = \sum \lambda_n b_n$

where the partial sums B_N = b₀ + ··· + b_n are bounded, λ_n has bounded variation, and lim λ_nB_n exists:

$\sup_N \Bigl| \sum_{n=0}^N b_n \Bigr| < \infty, \ \ \sum |\lambda_{n+1} - \lambda_n| < \infty\ \text{and} \ \lambda_n B_n \ \text{converges,}$

then the series ∑a_n is convergent. This applies to the pointwise convergence of many trigonometric series, as in

$\sum_{n=2}^\infty \frac{\sin(n x)}{\ln n}$

with 0 < x < 2π. Abel's method consists in writing b_n+1 = B_n+1 − B_n, and in performing a transformation similar to integration by parts (called summation by parts), that relates the given series ∑a_n to the absolutely convergent series

$\sum (\lambda_n - \lambda_{n+1}) \, B_n.$

[sửa] Ví dụ

Ví dụ, một danh sách các số có dấu cộng ở giữa như sau

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...

là một chuỗi vô hạn.

Nó có thể được biểu diễn là

$\sum_{n=1}^\infty n$

[sửa] Xem thêm