Chuỗi Fourier
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
| Biến đổi Fourier |
|---|
| Biến đổi Fourier liên tục |
| Chuỗi Fourier |
| Biến đổi Fourier rời rạc |
| Biến đổi Fourier theo thời gian gián đoạn |
Trong toán học, chuỗi Fourier (được dặt tên theo nhà toán học Joseph Fourier) của một hàm tuần hoàn là một cách biểu diễn hàm đó dưới dạng tổng của các hàm tuần hoàn có dạng ejnx, trong đó, e là số Euler và j là đơn vị số ảo.Theo công thức Euler, các chuỗi này có thể được biểu diễn một cách tương đương theo các hàm sin và hàm cos.
Một cách tổng quát, một chuỗi hữu hạn của các hàm lũy thừa của số ảo được gọi là một chuỗi lượng giác. Fourier là người đầu tiên nghiên cứu chuỗi lượng giác theo các công trình trước đó của Euler, d'Alembert và Daniel Bernoulli. Fourier đã áp dụng chuỗi Fourier để giải phương trình truyền nhiệt, các công trình đầu tiên của ông được công bố vào năm 1807 và 1811, cuốn Théorie analytique de la chaleur của ông được công bố vào năm 1822. Theo quan điểm của toán học hiện đại, các kết quả của Fourier có phần không chính thức liên quan đến sự không hoàn chỉnh trong khái niệm hàm số và tích phân vào đầu thế kỉ XIX. Sau đó, Dirichlet và Riemann đã diễn đạt lại các công trình của Fourier một cách chính xác hơn và hoàn chỉnh hơn.
Mục lục |
[sửa] Khái niệm chung
Cho một hàm số f với giá trị phức và biến thực t, f: R → C, mà f(t) là liên tục và khả vi gián đoạn, tuần hoàn với chu kì T, và bình phương khả tích trên đoạn t1 đến t2 với chiều dài T, nghĩa là,
với
-
- T = t2 − t1 là chu kì,
- t1 và t2 là cận tích phân.
Chuỗi Fourier của f là
![\frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(\omega_n t) + b_n \sin(\omega_n t)]](http://upload.wikimedia.org/math/8/b/0/8b03eb90b06adcaa28212cc2ebf628e7.png)
mà trong đó, với các số nguyên không âm n,
-
là tần số góc thứ n (theo radian) của hàm số f,
là các hệ số Fourier chẵn của f, và
là các hệ số Fourier lẻ của f.
Một cách tương đương, dưới dạng mũ hàm phức,
với:
-
- i là đơn vị ảo, và
theo đúng công thức Euler.
