Dòng chảy Poiseuille

Dòng chảy Poiseuille - đây là dòng chảy tầng của chất lỏng qua một ống dẫn có dạng hình trụ (hoặc phần không gian giữa 2 hình trụ đồng tâm) hoặc giữa 2 mặt phẳng song song . Dòng chảy Poisseuille - là một trong những nghiệm chính xác và đơn giản nhất của phương trình Navier-stocks .

Bài toán đặt ra

Xét dòng chảy thiết lập của một chất lỏng không bị nén với độ nhớt $\eta$ trong ống hình trụ nhỏ có tiết diện ngang tròn . Giả sử 2 đầu ống hình trụ ( có đọ dài l ) được giữ bởi áp suất p1 , p2 (p1 > p2) sao cho hiệu áp suất không đổi , bán kính hình trụ là R, trục Ox nằm dọc theo trục của hình trụ :

Lực tác dụng lên phần chất lỏng nằm trong khoảng tọa độ x , x + dx :

$F = \pi r^2 ( p(x) - p(x + dx)) = -\pi r^2 dp = 2 \pi r \tau dx = - 2 \pi r dx \eta {dv \over dr}$

trong đó $\tau = - \eta {\partial v \over \partial r}$ - ma sát trong

Khi đó :

$r {dp \over dx} = 2 \eta {dv \over dr}$

Đối với dòng chảy tầng :

${dp \over dx} = {{p_2 - p_1} \over l}$ , ta nhận được :

$r {{p_2 - p_1} \over l} = {2 \eta {dv \over dr}}$

Suy ra :

$dv ={ {p_2 - p_1} \over {2 l \eta} }r dr$

Lấy tích phân 2 vế :

$\int\limits_{v_0}^v dv ={ {p_2 - p_1}\over{2 l \eta}}\int\limits_0^r r dr$

Thu được :

$v - v_0 = {{p_2 - p_1}\over{4 l \eta}} r^2$

Bởi vì khi r = R thì v = 0 , nên $v_0 = {{p_2 - p_1}\over{4 l \eta}} R^2$

Suy ra :

$v = {{p_2 - p_1}\over{4 l \eta}} ( R^2 - r^2 ) = v_0 ( 1 - {r^2\over R^2})$

Công thức trên cho ta biết vận tốc của điểm dang xét phụ thuộc vào bán kính ra từ trục hình trụ đến điểm đó - công thức Poiseuille . Và dòng chảy như vậy gọi là dòng chảy Poiseuille .

Định luật Poiseuille

Phương trình (định luật) Poiseuille - cho phép ta xác định lưu lượng chất lỏng khi dòng chảy ( của chất lỏng nhớt không bị nén ) đã được thiết lập trong ống hình trụ tròn :

$Q= \int\limits_{S} v\left(r\right) dS = 2 \pi \int\limits_0^R v\left(r\right) r dr =\frac{\pi R^4 (p_1-p_2)}{8 \eta l},$