Dòng chảy Poiseuille

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Dòng chảy Poiseuille - đây là dòng chảy tầng của chất lỏng qua một ống dẫn có dạng hình trụ (hoặc phần không gian giữa 2 hình trụ đồng tâm) hoặc giữa 2 mặt phẳng song song. Dòng chảy Poisseuille - là một trong những nghiệm chính xác và đơn giản nhất của phương trình Navier-stocks.

Bài toán đặt ra[sửa | sửa mã nguồn]

Xét dòng chảy thiết lập của một chất lỏng không bị nén với độ nhớt  \eta trong ống hình trụ nhỏ có tiết diện ngang tròn. Giả sử 2 đầu ống hình trụ ( có đọ dài l ) được giữ bởi áp suất p1, p2 (p1 > p2) sao cho hiệu áp suất không đổi, bán kính hình trụ là R, trục Ox nằm dọc theo trục của hình trụ :

Lực tác dụng lên phần chất lỏng nằm trong khoảng tọa độ x, x + dx :

 F = \pi r^2 ( p(x) - p(x + dx)) = -\pi r^2 dp = 2 \pi r \tau dx = - 2 \pi r dx \eta {dv \over dr}

trong đó \tau = - \eta {\partial v \over \partial r} - ma sát trong

Khi đó :

r {dp \over dx} = 2 \eta {dv \over dr}

Đối với dòng chảy tầng :

{dp \over dx} = {{p_2 - p_1} \over l}, ta nhận được :

r {{p_2 - p_1} \over l} = {2 \eta {dv \over dr}}

Suy ra :

dv ={ {p_2 - p_1} \over {2 l \eta} }r dr

Lấy tích phân 2 vế :

\int\limits_{v_0}^v dv ={ {p_2 - p_1}\over{2 l \eta}}\int\limits_0^r r dr

Thu được :

v - v_0 = {{p_2 - p_1}\over{4 l \eta}} r^2

Bởi vì khi r = R thì v = 0, nên v_0 = {{p_2 - p_1}\over{4 l \eta}} R^2

Suy ra :

v = {{p_2 - p_1}\over{4 l \eta}} ( R^2 - r^2 ) = v_0 ( 1 - {r^2\over R^2})

Công thức trên cho ta biết vận tốc của điểm dang xét phụ thuộc vào bán kính ra từ trục hình trụ đến điểm đó - công thức Poiseuille. Và dòng chảy như vậy gọi là dòng chảy Poiseuille.

Định luật Poiseuille[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình (định luật) Poiseuille - cho phép ta xác định lưu lượng chất lỏng khi dòng chảy ( của chất lỏng nhớt không bị nén ) đã được thiết lập trong ống hình trụ tròn :

Q= \int\limits_{S} v\left(r\right) dS = 2 \pi \int\limits_0^R v\left(r\right) r dr =\frac{\pi R^4 (p_1-p_2)}{8 \eta l},