Dao động điều hòa

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Dao động điều hòa là một dạng dao động mà chuyển động của có thể mô tả bởi những hàm số tuần hoàn của thời gian, mà cụ thể ở đây thường là hàm sin và cosin ^[1].

Mục lục

1 Những khái niệm cơ bản
2 Phương trình mô tả dao động
3 Các hệ dao động tương đương
4 Một số bài toán ứng dụng
5 Xem thêm
6 Tham khảo
7 Liên kết ngoài

[sửa] Những khái niệm cơ bản

[sửa] Phương trình chuyển động

Ly độ (hay tọa độ) trong dao động điều hòa được mô tả bởi hàm số sin hoặc cosin của thời gian, cho bởi:

x = A sin(ω t + ψ)

Các đại lượng tương ứng trong phương trình:

A

: biên độ là ly độ cực đại,

ω

: tần số góc

ψ

: pha ban đầu

[sửa] Tần số, chu kỳ, pha

Chu kỳ dao động được xác định tỉ lệ nghịch với tần số góc:

$T = \frac{2 \pi}{\omega}$

Tần số của dao động tỉ lệ nghịch với chu kỳ và tỉ lệ thuận với tần số góc:

$f = \frac{1}{T}$

Pha của dao động là một hàm số của thời gian, mang thứ nguyên của góc:

φ = ω t + ψ

Sự sai khác về pha giữa 2 giao động gọi là sự lệch pha. Khi độ lệch pha của 2 giao động là 2nπ (n là số nguyên) thì ta có 2 dao động đồng pha. Hai dao động được gọi là ngược pha nếu độ lệch pha là nπ (n là số nguyên lẻ).

[sửa] Vận tốc, gia tốc

Vận tốc là sự biến thiên của ly độ theo thời gian, do đó nó cũng là một hàm tuần hoàn theo thời gian:

v = x' = A ωcos(ω t + ψ)

Và gia tốc cũng là một hàm tuần hoàn của thời gian:

a = v' = x'' = - A ω 2 cos(ω t + ψ)

[sửa] Phương trình mô tả dao động

[sửa] Dao động điều hoa đơn giản

Một dao động điều hòa đơn giản được mô tả một cách đơn giản với tổng hợp lực là một lực phục hồi:

F = - k . x

Với k là một hệ số dương. Và ly độ của vật có thể đơn giản rút ra từ định luật II Newton:

F = m . a = m . x''

Và ly độ x sẽ là nghiệm của một phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất:

- k . x = m . x''

Hay:

$\frac{k}{m}x + \frac{d^2x}{dt^2} = 0$

Phương trình này cho nghiệm là một dao động điều hòa cơ bản như đã biết

x = A sin(ω t + ψ)

Với:

$\omega = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$

Một cách tổng quát, phương trình dao động điều hòa là một phương trình vi phân bậc 2 đầy đủ cho bởi:

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = F(t)$

Tùy theo các điều kiện của các tham số trong phương trình này mà có thể đưa đến nhiều kiểu dao động khác nhau như dao động tắt dần, dao động cưỡng bức...

[sửa] Dao động tắt dần

Các chuyển động trong thực tế là không lý tưởng, lực ma sát sẽ xuất hiện cản trở chuyển động khiến cho dao động sẽ bị dập tắt sau một số chu kỳ, và chuyển động này gọi là dao động tắt dần.

Dao động tắt dần có thể được mô tả bởi một hàm sin (hoặc cosin) với biên độ giảm dần theo thời gian theo hàm số mũ:

x = A 0 e - γ t sin(ω t + ψ)

Với gamma là hệ số tắt dần.

Dao động tắt dần có thể suy ra từ phương trình dao động tổng quát là một phương trình vi phân bậc 2 thuần nhất:

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^{\,2} x = 0$

Giá trị của hệ số $ζ$ xác định tính chất tắt dần của hệ dao động:

Quá ngưỡng tắt dần ( $ζ > 1$ ): Dao động của hệ bị dập tắt ngay lập tức khi chưa kịp hoàn thành một dao động.
Tắt dần tới hạn ( $ζ = 1$ ): Dao động của hệ bị dập tắt nhanh nhất khi chưa kịp hoàn thành dao động.
Dưới ngưỡng tắt dần ( $ζ < 1$ ): Dao động của hệ bị tắt dần sau khi thực hiện một vài dao động, biên độ giảm dần về 0.

Tần số suy rộng của dao động dưới ngưỡng tắt dần được cho bởi:

$\omega_1 = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}$

[sửa] Dao động cưỡng bức

Dao động cưỡng bức là một dao động động thực hiện dưới tác dụng của một ngoại lực (ngoài hệ dao động). Ví dụ như dao động của con lắc đơn, nếu chỉ xét hệ dao động là con lắc đơn, lực hút của Trái đất là ngoại lực thì dao động của hệ là cưỡng bức. Tuy nhiên nếu coi hệ dao động bao gồm cả Trái đất và con lắc đơn thì lại không phải là dao động cưỡng bức.

Dao động cưỡng bức là nghiệm của phương trình vi phân tổng quát (đầy đủ):

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = F(t)$

Lúc đó, vế phải của phương trình sẽ biểu diễn tác dụng của ngoại lực, vế trái là dao động riêng của hệ với tần số dao động riêng w0.

[sửa] Các hệ dao động tương đương

[sửa] Một số bài toán ứng dụng

[sửa] Con lắc đơn

[sửa] Con lắc lò xo nằm ngang

[sửa] Dao động điện từ trong mạch LC

[sửa] Xem thêm

[sửa] Tham khảo

^ Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). Physics for Scientists and Engineers, Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.

[sửa] Liên kết ngoài

[0] Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). Physics for Scientists and Engineers, Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.

[1]