Dao động tử điều hòa

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Một con lắc lò xo thẳng đứng là một dao động tử điều hòa.

Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hòa là một hệ thống cơ học thực hiện dao động mà chuyển động của có thể mô tả bởi những hàm số điều hòa của thời gian, mà cụ thể ở đây thường là hàm sincosin [1].

Chuyển động của dao động tử điều hòa gọi là dao động điều hòa. Mọi chuyển động này đều có thể phân tích thành tổng của các dao động điều hòa đơn.

Dao động điều hòa đơn giản (simple harmonic oscillation)[sửa | sửa mã nguồn]

Xem bài chính dao động điều hòa đơn giản

Ly độ (hay tọa độ) trong dao động điều hòa đơn được mô tả bởi hàm số sin hoặc cosin của thời gian, cho bởi:

x = A \cos(\omega t + \psi)

Các đại lượng tương ứng trong phương trình:

A: biên độ là ly độ cực đại,
\omega: tần số góc
\psi: pha ban đầu

Chu kỳ dao động được xác định tỉ lệ nghịch với tần số góc:

T = \frac{2 \pi}{\omega}

Tần số của dao động tỉ lệ nghịch với chu kỳ và tỉ lệ thuận với tần số góc:

f = \frac{1}{T}

Pha của dao động là một hàm số của thời gian, mang thứ nguyên của góc:

\phi = \omega t + \psi

Sự sai khác về pha giữa 2 dao động gọi là sự lệch pha. Khi độ lệch pha của 2 dao động là 2nπ (n là số nguyên) thì ta có 2 dao động đồng pha. Hai dao động được gọi là ngược pha nếu độ lệch pha là nπ (n là số nguyên lẻ).

Vận tốc là sự biến thiên của ly độ theo thời gian, do đó nó cũng là một hàm tuần hoàn theo thời gian:

v = x' = -A \omega \sin(\omega t + \psi)

Gia tốc cũng là một hàm tuần hoàn của thời gian:

a = v' = x'' = -A \omega^2 \cos(\omega t + \psi)

Dao động điều hòa tắt dần (damped harmonic oscillation)[sửa | sửa mã nguồn]

Các hệ thống cơ học dao động điều hòa thường chịu lực ma sát, cản trở chuyển động khiến cho dao động sẽ bị dập tắt sau một số chu kỳ, và chuyển động này gọi là dao động tắt dần.

Dao động tắt dần có thể được mô tả bởi một hàm sin (hoặc cosin) với biên độ giảm dần theo thời gian theo hàm số mũ:

x = A_0 e^{-\gamma t} \sin(\omega t + \psi)

Với gamma là hệ số tắt dần.

Dao động tắt dần có thể suy ra từ phương trình dao động tổng quát là một phương trình vi phân bậc 2 thuần nhất:

 \frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^{\,2} x = 0

Giá trị của hệ số \zeta xác định tính chất tắt dần của hệ dao động:

  • Quá ngưỡng tắt dần (\zeta > 1): Dao động của hệ bị dập tắt ngay lập tức khi chưa kịp hoàn thành một dao động.
  • Tắt dần tới hạn (\zeta = 1): Dao động của hệ bị dập tắt nhanh nhất khi chưa kịp hoàn thành dao động.
  • Dưới ngưỡng tắt dần (\zeta < 1): Dao động của hệ bị tắt dần sau khi thực hiện một vài dao động, biên độ giảm dần về 0.

Tần số suy rộng của dao động dưới ngưỡng tắt dần được cho bởi:

\omega_1 = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}

Dao động điều hòa cưỡng bức (driven harmonic oscillation)[sửa | sửa mã nguồn]

Dao động điều hòa cưỡng bức là một dao động điều hòa thực hiện dưới tác dụng của một ngoại lực điều hòa (lực có nguồn gốc từ ngoài hệ dao động và độ lớn của lực cũng biến thiên theo thời gian theo hàm điều hòa) hoặc ngoại lực khác (như lực bậc thang).

Dao động cưỡng bức là nghiệm của phương trình vi phân tổng quát:

 \frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = F(t)

Lúc đó, vế phải của phương trình sẽ biểu diễn tác dụng của ngoại lực, vế trái là dao động riêng của hệ với tần số dao động riêng ω0.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Con lắc đơn[sửa | sửa mã nguồn]

Dao động của một con lắc đơn dưới điều kiện không có ma sát và góc dao động nhỏ.

Giả sử một con lắc đơn có chiều dài l, dao động trong phạm vi góc rất nhỏ, và không ma sát, phương trình chuyển động góc của nó có thể viết dưới dạng:

{\mathrm{d}^2\theta\over \mathrm{d}t^2}+{g\over \ell}\theta=0.

Lời giải của phương trình sẽ có dạng:

\theta(t) = \theta_0\cos\left(\sqrt{g\over \ell}t\right) \quad\quad\quad\quad |\theta_0| \ll 1

Với \theta_0 là biên độ góc (góc lệch lớn nhất). Chu kỳ dao động của con lắc sẽ được cho bởi:

T_0 = 2\pi\sqrt{\ell\over g}\quad\quad\quad\quad |\theta_0| \ll 1.

Con lắc lò xo nằm ngang[sửa | sửa mã nguồn]

Dao động con lắc lò xo nằm ngang ở 3 vị trí: (A) vị trí cân bằng, (B) bị nén, (C) bị giãn.

Đối với hệ con lắc lò xo nằm ngang, lực tạo ra sự dao động là lực đàn hồi của lò xo, theo định luật Hooke, nó quan hệ với độ biến dạng của lò xo (trong trường hợp này trùng với tọa độ con lắc) theo công thức:

F \left( t \right) =-kx \left( t \right)

với F là lực đàn hồi, k là hệ số đàn hồi của lò xo, x là ly độ của con lắc. Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động ngang của con lắc dưới tác dụng của lực đàn hồi, ta sẽ có phương trình vi phân bậc 2 của quá trình dao động:

 F(t) = -kx(t) = m \frac {\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}{t}^{2}} x \left( t \right) = ma.

Và lời giải của phương trình có dạng:

 x \left( t \right) =A \cos \left( \sqrt{k \over m}t \right).

với A là biên độ dao động, và lúc này chu kỳ dao động sẽ được cho bởi:

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}

Chú ý rằng, trong chuyển động của con lắc lò xo nằm ngang, bài toán có thể giải theo cách tìm các dạng năng lượng gồm động năng và thế năng. Động năng của con lắc sẽ là: E_k = \frac{1}{2} m.v^2 còn thế năng ở đây chính là thế năng đàn hồi của lò xo, cho bởi: E_p = \frac{1}{2} k. x^2

Dao động điện từ trong mạch LC[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]