Hàm rect

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Hàm rect.

Hàm chữ nhật hay hàm rect là một hàm toán học liên tục được định nghĩa như sau:[1]

\operatorname{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases}
0           & \text{khi } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt]
\frac{1}{2} & \mbox{khi } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt]
1           & \text{khi } |t| < \frac{1}{2}.
\end{cases}

Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu, hàm rect còn được định nghĩa theo cách khác như sau:[2]

\operatorname{rect_d}(t) = \begin{cases}
1           & \text{khi } |t| \le \frac{1}{2} \\[3pt]
0           & \text{khi } |t| > \frac{1}{2}.
\end{cases}

Biến đổi Fourier[sửa | sửa mã nguồn]

Biến đổi Fourier liên tục của hàm rect là một hàm sinc:


\begin{align}
\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\} 
&=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt
=\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \mathrm{sinc}(\pi f)= \mathrm{si}(f).
\end{align}

và:

\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt
=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right).

Mối quan hệ với hàm tri[sửa | sửa mã nguồn]

Tích chập của 2 hàm rect là 1 hàm tri.

\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t).\,

Ứng dụng trong xác suất[sửa | sửa mã nguồn]

Sử dụng hàm rect như là một hàm mật độ xác suất, nó là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối đều liên tục với a,b=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}.

Hàm đặc trưng:

\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2},\,

Hàm sinh mômen:

M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2},\,

với \mathrm{sinh}(t) là một hàm hypebolic.

Biểu diễn bằng hàm hữu tỉ[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm rect có thể được biểu diễn dưới dạng là giới hạn của 1 hàm hữu tỉ:

\sqcap(t) = \lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1}

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

  • Trường hợp |t|<\frac{1}{2}. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t<1 cho nên (2t)2n→0 khi n→∝.
Suy ra:
\lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \frac{1}{0+1} = 1, |t|<\frac{1}{2}
  • Trường hợp |t|>\frac{1}{2}. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t>1 cho nên (2t)2n→∝ khi n→∝.
Suy ra:
\lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \frac{1}{+\infty+1} = 0, |t|>\frac{1}{2}
  • Trường hợp |t| = \frac{1}{2}.
Dễ dàng ta có:
\lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{1^{2n}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

Từ đó có thể định nghĩa hàm rect như sau:

\therefore \mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \begin{cases}
0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\
1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \blacksquare\\
\end{cases}

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Weisstein, Eric W. (15 tháng 8 năm 2011). “Rectangle Function”. Wolfram MathWorld. Wolfram. Truy cập ngày 15 tháng 8 năm 2011. 
  2. ^ (tiếng Đức)Signalübertragung (ấn bản 6.). Springer Verlag. 1995. tr. 2. ISBN 3-540-54824-6.  Đã bỏ qua tham số không rõ |fist= (trợ giúp)