Hàm rect

Hàm rect.

Hàm chữ nhật hay hàm rect là một hàm toán học liên tục được định nghĩa như sau:

$\operatorname{rect}(t) = \sqcap(t) = \begin{cases} 0 & \text{khi } |t| > \frac{1}{2} \\[3pt] \frac{1}{2} & \mbox{khi } |t| = \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & \text{khi } |t| < \frac{1}{2}. \end{cases}$

Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu, hàm rect còn được định nghĩa theo cách khác như sau:

$\operatorname{rect_d}(t) = \begin{cases} 1 & \text{khi } |t| \le \frac{1}{2} \\[3pt] 0 & \text{khi } |t| > \frac{1}{2}. \end{cases}$

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục của hàm rect là một hàm sinc:

$\begin{align} \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\} &=\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i 2\pi f t} \, dt =\frac{\sin(\pi f)}{\pi f} = \mathrm{sinc}(\pi f)= \mathrm{si}(f) . \end{align}$

và:

$\mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i \omega t} \, dt =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi}\right).$

Mối quan hệ với hàm tri

Tích chập của 2 hàm rect là 1 hàm tri.

$\mathrm{tri}(t) = \mathrm{rect}(t) * \mathrm{rect}(t).\,$

Ứng dụng trong xác suất

Sử dụng hàm rect như là một hàm mật độ xác suất, nó là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối đều liên tục với $a,b=-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$.

Hàm đặc trưng:

$\varphi(k) = \frac{\sin(k/2)}{k/2},\,$

Hàm sinh mômen:

$M(k)=\frac{\mathrm{sinh}(k/2)}{k/2},\,$

với $\mathrm{sinh}(t)$ là một hàm hypebolic.

Biểu diễn bằng hàm hữu tỉ

Hàm rect có thể được biểu diễn dưới dạng là giới hạn của 1 hàm hữu tỉ :

$\sqcap(t) = \lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1}$

Chứng minh

• Trường hợp $|t|<\frac{1}{2}$. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t<1 cho nên (2t)2n→0 khi n→∝.

Suy ra:

$\lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \frac{1}{0+1} = 1, |t|<\frac{1}{2}$

• Trường hợp $|t|>\frac{1}{2}$. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t>1 cho nên (2t)2n→∝ khi n→∝.

Suy ra:

$\lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \frac{1}{+\infty+1} = 0, |t|>\frac{1}{2}$

• Trường hợp $|t| = \frac{1}{2}$.

Dễ dàng ta có:

$\lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{1^{2n}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Từ đó có thể định nghĩa hàm rect như sau:

$\therefore \mathrm{rect}(t) = \sqcap(t) = \lim_{n\rightarrow \infty, n\in \mathbb(Z)} \frac{1}{(2t)^{2n}+1} = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \blacksquare\\ \end{cases}$