Không gian Étalé

Trong toán học, không gian Étalé

Định nghĩa

(a) Một không gian Étalé trên một không gian tôpô X là một không gian tôpô Y cùng với một toàn ánh liên tục π:Y → X sao cho π là một đồng phôi địa phương. Kí hiệu là (Y,π,X).

(b) Một nhát cắt của một không gian étalé (Y,π,X) trên một tập mở U, trong X, là một ánh xạ liên tục f:U → Y sao cho $\pi\circ f = 1_U$. Tập các nhát cắt trên U được kí hiệu bởi Γ(U,Y).

Ta sẽ kết hợp một tiền bó bất kỳ $\mathcal{F}$ trên X một không gian étalé $\hat{\mathcal{F}}\to X$ sao cho bó các nhát cắt của $\hat{\mathcal{F}}$ cho một mô hình khác của $\mathcal{F}$ nếu $\mathcal{F}$ là một bó.

Xét tiền bó $\mathcal{F}$ trên X, và đặt $\mathcal{F}_x:={\lim}_{x\in U}\mathcal{F}(U)$ là giới hạn xạ ảnh của các tập $\mathcal{F}(U)$ theo các ánh xạ hạn chế $r_V^U$ của $\mathcal{F}$. Nếu $\mathcal{F}$ có một cấu trúc đại số mà được bảo toàn qua giới hạn xạ ảnh, thì $\mathcal{F}_x$, được gọi là thớ của $\mathcal{F}$ tại x, sẽ có cấu trúc đó.

Có một ánh xạ tự nhiên $r_x^U:\mathcal{F}\to\mathcal{F}_x, x\in U$ được cho bằng cách gán các phần tử trong $\mathcal{F}(U)$ với lớp tương đương của nó qua giới hạn xạ ảnh. Nếu $s\in\mathcal{F}(U)$, thì $s_x:=r_x^U(s)$ được gọi là mầm của s tại x, và s được gọi là một đại diện cho mầm $s_x$. Đặt $\hat{\mathcal{F}}=\cup_{x\in X}\mathcal{F}$ và đặt $\pi:\hat{\mathcal{F}}\to X$ là phép chiếu tụ nhiên gán các điểm trong $\mathcal{F}_x$ với x.Để $\hat{\mathcal{F}}$ là một không gian étalé, chỉ cần trang bị cho $\mathcal{F'}$ một tôpô sao cho $\pi$ là liên tục và là một đồng phôi địa phương. Với mỗi $s\in\mathcal{F}(U)$ định nghĩa hàm tập $\hat{s}:U\to\hat{\mathcal{F}}$ bằng cách đặt $\hat{s}(x)=s_x$ với mỗi $x\in U$. Để ý rằng $\pi\circ\hat{s}=1_U$. Đặt {$\hat{s}(U)$ trong đó U là mở trong X, $s\in\mathcal{F}(U)$} là một cơ sơ cho tôpô của $\hat{\mathcal{F}}$. Khi đó, tất cả các hàm $\hat{s}$ là liên tục. Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra rằng $\pi$ là liên tục và là một đồng phôi địa phương.

Do vậy ta đã kết hợp mỗi tiền bó $\mathcal{F}$ trên X một không gian étalé. Trong việc kết hợp một không gian étalé $\hat{\mathcal{F}}$ với một tiền bó $\mathcal{F}$, ta cũng đã kết hợp một bó với $\mathcal{F}$, gọi là bó các nhát cắt của $\hat{\mathcal{F}}$. Chúng ta gọi bó này là bó được sinh bởi $\mathcal{F}$. Để thấy rõ hơn mối quan hệ giữa tiền bó $\mathcal{F}$ và bó các nhát cắt của $\hat{\mathcal{F}}$ mà ta gọi là $\bar{\mathcal{F}}$ từ lúc này trở đi. Chúng ta cũng đã sử dụng một kết quả là có một đồng cấu tiền bó, kí hiệu bởi $\tau:\mathcal{F}\to\bar{\mathcal{F}}$, nghĩa là $\tau_U:\mathcal{F}(U)\to\bar{\mathcal{F}}(U)[:=\Gamma(U,\hat{\mathcal{F}}]$ được cho bởi $\tau_U(s)=\hat{s}$. Trong trường hợp $\mathcal{F}$ là một bó, ta có kết quả cơ bản sau đây. Tuy nhiên ta bỏ qua chứng minh của nó.

Định lí

Nếu $\mathcal{F}$ là một bó, thì $\tau:\mathcal{F}\to\hat{\mathcal{F}}$ là một đăng cấu bó.

Định lí nói rằng với mỗi bó $\mathcal{F}$ Ta có thể kết hợp một không gian étalé $\hat{\mathcal{F}}$ mà bó các nhát cắt của nó là bó ban đầu; tức là, $\hat{\mathcal{F}}$ chứa cùng lượng thông tin như $\mathcal{F}$.