Không gian compact địa phương

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Không gian compact địa phương X là một không gian tôpô mà mọi phần tử x của X có một lân cận V_x của x chứa trong một tập compact A\subset X.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Không gian Hausdroff compact[sửa | sửa mã nguồn]

Mỗi không gian Hausdroff compact cũng là không gian compact địa phương.

  • Khoảng đóng [0,1].
  • Các đa tạp tôpô đóng.
  • Tập Cantor.
  • Không gian \displaystyle{\prod_{i\in\mathbb{Z}^{+}}[0,1]} (Khối lập phương Hilbert).

Không gian Hausdroff compact địa phương thì không compact[sửa | sửa mã nguồn]

  • Các không gian Euclid \mathbb{R}^n là compact địa phương như là một hệ quả của định lý Heine-Borel.
  • Không gian tôpô rời rạc là không gian compact địa phương và Hausdroff.
  • Tất cả các tập con mở hoặc đóng của một không gian Hausdorff compact địa phương thì compact địa phương trong không gian tôpô con. Điều này đưa đến một số ví dụ về tập con compact địa phương của không gian Euclid, chẳng hạn như các đĩa đơn vị (mở hoặc đóng).
  • Tập hợp các số hữu tỉ không phải là compact địa phương vì nó Hausdorff nhưng mở rộng Alexandroff của nó thì không phải là Hausdroff.
  • Không gian \mathbb{Q}_p của các số p-adic là compact địa phương bởi vì nó thì đồng phôi với tập Cantor trừ một điểm. Vì vậy không gian compact địa phương được sử dụng trong giải tích p-adic giải tích cổ điển.

Phản ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

  • \mathbb{Q} là không compact địa phương, vì (a,b)\cap\mathbb{Q} trong \mathbb{Q} không compact theo dãy, dẫn đến mọi tập con compact của \mathbb{Q} là không đâu trù mật.

Tính chất liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

  • Không gian Hausdroff compact địa phương là chính tắc.
  • Không gian Hausdroff X là compact địa phương khi và chỉ khi với mỗi phần tử của X thì tồn tại không gian con compact C trong X sao cho nó thuộc phần trong của C.
  • Cho toàn ánh f:X\rightarrow Y liên tục và mở. Nếu X compact địa phương và Y Hausdroff thì Y compact địa phương.
  • Nếu không gian tích là Hausdroff compact địa phương thì các không gian thành phần cũng Hausdroff compact địa phương.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê