Luật số lớn

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Luật số lớn được đưa ra vào thế kỷ XVII^e.

Luật số lớn chỉ ra rằng, khi ta chọn ngẫu nhiên các giá trị (mẫu thử) trong một dãy các giá trị (quần thể), kích thước dãy mẫu thử càng lớn thì các đặc trưng thống kê (trung bình, phương sai,...) của mẫu thử càng "gần" với các đặc trưng thống kê của quần thể

Các nhà Toán học phân biệt 2 phát biểu khác nhau của luật số lớn, là luật số lớn yếuluật số lớn mạnh.

Luật số lớn yếu[sửa | sửa mã nguồn]

Luật số lớn yếu còn được gọi là định lý Khintchine.

Xét n biến ngẫu nhiên X_1, X_2,..., X_n độc lập, cùng phân phối với phương sai hữu hạn và kỳ vọng E(X), luật số lớn yếu phát biểu rằng, với mọi số thực \epsilon dương, xác suất để khoảng cách giữa trung bình tích lũy Y_n = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} và kỳ vọng E(X) lớn hơn \epsilon là tiến về 0 khi n tiến về vô cực.

\lim_{n \to +\infty} P\left(\left|\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} -E(X)\right| \geq \epsilon\right) = 0

Phát biểu được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bienaymé-Tchebychev sau đây của Tchebychev:

P(|Y - E(Y)|\geq \epsilon) \leq \frac{V(Y)}{\epsilon^2}

Ta có biến ngẫu nhiên Y_n = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} có kỳ vọng

E(Y_n)=\frac{nE(X)}{n}=E(X)

và phương sai

V(Y_n)=\frac{nV(X)}{n^2}=\frac{V(X)}{n}

từ bất đẳng thức Bienaymé-Tchebychev, ta có:

P\left(\left|\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} -E(X)\right| \geq \epsilon\right) \leq \frac{V(X)}{n\epsilon^2}

Vế phải tiến về 0 khi n tiến về vô cực, định lý được chứng minh.

Theo định nghĩa hội tụ của biến ngẫu nhiên thì Y_n hội tụ theo xác suất về E(X).

Luật số lớn mạnh[sửa | sửa mã nguồn]

Xét n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối xác suất, khả tích (nghĩa là E(|X|)<\infty). Luật số lớn mạnh phát biểu rằng trung bình tích lũy Y_n\, hội tụ hầu như chắc chắn về E(X).

Nghĩa là:

P\left(\lim_{n \to +\infty} Y_n(\omega) = E(X)\right)=1.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]