Ma trận Hesse

Trong toán học, ma trận Hesse là ma trận vuông của đạo hàm từng phần bậc hai của một hàm số, do đó nó sẽ biểu thị độ cong của một hàm số nhiều biến. Ma trận Hesse được phát triển từ thế kỉ 19 bởi nhà toán học người Đức Ludwig Otto Hese.

Cho một hàm số thực

$f(x_1, x_2, \dots, x_n),\,\!$

nếu tất cả đạo hàm từng phần bậc hai của f tồn tại, thì ma trận Hesse của f là ma trận

$H(f)_{ij}(x) = D_i D_j f(x)\,\!$

với x = (x₁, x₂, ..., x_n) và D_i là toán tử đạo hàm với thành phần thứ i, và ma trận Hesse trở thành

$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

Một vài nhà toán học định nghĩa Hesse là định thức của ma trận ở trên.