Ma trận Jacobi

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong giải tích véctơ, ma trận Jacobima trận chứa các đạo hàm riêng bậc nhất của hàm giữa hai không gian véctơ. Ma trận này được đặt tên theo nhà toán học Carl Gustav Jacobi. Ma trận này được ứng dụng trong giải tích vì nó là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất cho một hàm khả vi tại một điểm trong không gian véctơ biến của hàm này.

Chi tiết[sửa | sửa mã nguồn]

Cụ thể nếu hàm F: RnRm là một hàm từ không gian Ơclít n chiều đến một không gian Ơclít m chiều, nó sẽ có m thành phần:

y1(x1,...,xn)
...
ym(x1,...,xn).

Đạo hàm riêng bậc nhất của các hàm này (nếu tồn tại) sẽ có thể được xếp thành một ma trận có kích thước m nhân n, chính là ma trận Jacobi của F:

\begin{bmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}

Có thể ký hiệu ma trận này là:

J_F(x_1,\ldots,x_n)

hay:

\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}

Như vậy, hàng thứ i của ma trận là gradient của thành phần yi với i=1,...,m.

Nếu p là một điểm trong không gian RnFkhả vi tại p, và các đạo hàm riêng của F tại p chính là JF(p). Lúc này, JF(p) là một hàm tuyến tính và là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của F xung quanh p, theo nghĩa là:

F(\mathbf{x}) \approx F(\mathbf{p}) + J_F(\mathbf{p})\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})

cho x nằm gần p.

Định thức Jacobi[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu m = n, thì ma trận Jacobi là ma trận vuông, và định thức của nó là định thức Jacobi.

Định thức Jacobi cho biết tính chất của hàm tại điểm đang xét. Ví dụ, hàm khả vi liên tục Fkhả nghịch gần p nếu định thức Jacobi tại điểm đó khác không. Đây là định lý hàm nghịch đảo. Hơn nữa, nếu định thức Jacobi tại pdương, thì F bảo toàn chiều quay tại gần p; và ngược lại, nếu nó âm, F đảo chiều quay. Giá trị tuyệt đối của định thức Jacobi tại p cho biết mức độ F nở rộng hay thu nhỏ thể tích gần p. Ý nghĩa này khiến định thức Jacobi xuất hiện trong phép đổi biến.

Trong trường hợp m = n = 3, định thức Jacobi có thể tính bằng:

\left | J_F(x_1,x_2,x_3) \right \vert = \left | \frac{\partial F}{\partial x_1} \cdot \frac{\partial F}{\partial x_2} \times \frac{\partial F}{\partial x_3} \right \vert

Với

\frac{\partial F}{\partial x_i} = (\frac{\partial y_1}{\partial x_i}, \frac{\partial y_2}{\partial x_i},\frac{\partial y_3}{\partial x_i})

Còn "." là nhân vô hướng, "×" là phép nhân véc tơ.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Xét hàm F: R3R3 với các thành phần:

y1 = 5x2
y2 = 4(x1)2 - 2sin(x2x3)
y3 = x2x3

Ma trận Jacobi của F sẽ là:

J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{bmatrix}

Định thức Jacobi của F sẽ là:

\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}=-8x_1\cdot\begin{vmatrix} 5 & 0\\ x_3&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2

Như vậy F sẽ bảo toàn chiều quay tại các điểm có x1 cùng dấu với x2; hàm sẽ khả nghịch tại gần các điểm có x1x2 khác 0. Với một thể tích nhỏ xíu gần điểm (1,1,1), sau khi tác dụng F lên thể tích này, sẽ nhận được một vật thể có thể tích lớn gấp 40 lần thể tích ban đầu.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. "Jacobian Determinant." §14.313 in Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, pp. 1068–1069, 2000.
  • Kaplan, W. Advanced Calculus, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 98–99, 123, and 238-245, 1984.
  • Simon, C. P. and Blume, L. E. Mathematics for Economists. New York: W. W. Norton, 1994.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]