Ma trận hiệp phương sai

Ma trận hiệp phương sai của tập hợp m biến ngẫu nhiên là một ma trận vuông hạng (m × m), trong đó các phần tử nằm trên đường chéo (từ trái sang phải, từ trên xuống dưới) lần lượt là phương sai tương ứng của các biến này (ta chú ý rằng Var(X) = Cov(X,X)), trong khi các phần tử còn lại (không nằm trên đường chéo) là các phương sai của đôi một hai biến ngẫu nhiên khác nhau trong tập hợp..

Định nghĩa

Ở đây, ký hiệu X và Y là hai vector, và X_i và Y_i là các thành phân của hai vector này. Nếu các thành phần của vector cột:

$\mathbf{X} = \begin{bmatrix}X_1 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix}$

là các biến ngẫu nhiên có phương sai xác định (không quá lớn tới vô cực), thì ma trận hiệp phương sai (covariance matrix) Σ là một ma trận mà có thành phần (i, j) là hiệp phương sai (covariance):

$\Sigma_{ij} = \mathrm{cov}(X_i, X_j) = \mathrm{E}\begin{bmatrix} (X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j) \end{bmatrix}$

trong đó

$\mu_i = \mathrm{E}(X_i)\,$

là giá trị kỳ vọng của thành phần thứ i của vector X. Nói cách khác, chúng ta có:

$\Sigma = \begin{bmatrix} \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)] \end{bmatrix}.$

Ma trận hiệp phương sai là khái niệm rất quan trọng trong kinh tế lượng và ước lượng mô hình.

Đọc thêm

• Eric W. Weisstein, Covariance Matrix tại MathWorld.
• van Kampen, N. G. (1981). Stochastic processes in physics and chemistry. New York: North-Holland. ISBN 0444862005. 
• “Covariance matrix”. AI Access Glossary of data modeling.