Ma trận hiệp phương sai

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Ma trận hiệp phương sai của tập hợp m biến ngẫu nhiên là một ma trận vuông hạng (m × m), trong đó các phần tử nằm trên đường chéo (từ trái sang phải, từ trên xuống dưới) lần lượt là phương sai tương ứng của các biến này (ta chú ý rằng Var(X) = Cov(X,X)), trong khi các phần tử còn lại (không nằm trên đường chéo) là các phương sai của đôi một hai biến ngẫu nhiên khác nhau trong tập hợp..

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Ở đây, ký hiệu XY là hai vector, và Xi và Yi là các thành phân của hai vector này. Nếu các thành phần của vector cột:

 \mathbf{X} = \begin{bmatrix}X_1 \\  \vdots \\ X_n \end{bmatrix}

là các biến ngẫu nhiên có phương sai xác định (không quá lớn tới vô cực), thì ma trận hiệp phương sai (covariance matrix) Σ là một ma trận mà có thành phần (ij) là hiệp phương sai (covariance):


\Sigma_{ij}
= \mathrm{cov}(X_i, X_j) = \mathrm{E}\begin{bmatrix}
(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)
\end{bmatrix}

trong đó


\mu_i = \mathrm{E}(X_i)\,

giá trị kỳ vọng của thành phần thứ i của vector X. Nói cách khác, chúng ta có:


\Sigma
= \begin{bmatrix}
 \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\
 \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
 \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)]
\end{bmatrix}.

Ma trận hiệp phương sai là khái niệm rất quan trọng trong kinh tế lượng và ước lượng mô hình.

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]