Ma trận khả nghịch

Trong đại số tuyến tính, một ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến là một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận.

Định nghĩa

Ma trận đơn vị

• Ma trân đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không.

$E_n=\begin{bmatrix} 1 & 0 &\cdot&\cdot & 0 \\ 0 & 1 &\cdot&\cdot&0\\ \cdot & \cdot &\cdot &\cdot&\cdot \\ 0 & 0 &\cdot&\cdot & 1\end{bmatrix}$

• Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A.

Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó

• Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên vành V nếu tồn tại ma trận A' cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A⁻¹.

Các tính chất

1. Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V.
2. Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.
3. Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
4. Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$
5. Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với [[Ma trận (toán học)#phép nhân ma trận|phép nhân ma trận

Tìm ma trận nghịch đảo

Định thức con và phần bù đại số

• Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử a_ij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử a_ij, ký hiệu là M_ij.
• Định thức con M_ij với dấu bằng (-1)^i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử a_ij, kí hiệu là A_ij.

Ví dụ: Cho ma trận

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.

Khi đó

$A_{11}=(-1)^2 \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}=6$

Tương tự A₁₂=0; A₁₃=0; A₂₁=-3 ;A₂₂=3 ;A₂₃=0;A₃₁=-1 ;A₃₂=-1;A₃₃=2;

Công thức tính ma trận nghịch đảo

Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng công thức:

$A^{-1}=\frac 1 {det(A)} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} &\cdot &A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} &\cdot &A_{n2}\\ \cdot & \cdot &\cdot &\cdot\\ A_{1n} & A_{2n} &\cdot &A_{nn} \end{bmatrix}$

Ví dụ

Trong ví dụ trên, ta có

$A^{-1}=\frac 1 6 \begin{bmatrix} 6 & -3 & -1\\ 0 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$=$A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -\frac 1 2 & -\frac 1 6\\ 0 & \frac 1 2 & -\frac 1 6\\ 0 & 0 & \frac 1 3 \end{bmatrix}$

Các bước tìm ma trận nghịch đảo

• Bước 1: Tính định thức của ma trận A

  Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo $A^{-1}$

  Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo $A^{-1}$, chuyển sang bước 2

• Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A' của A.
• Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau

  $A^{*}=(A'_{ij})_{nm}$

  với $A'=(A'_{ij})$ là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A'.

• Bước 4: Tính ma trận $A^{-1}=\frac {1} {det (A)}A^{*}$

Ví dụ

Cho $A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\\ 3& 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. Tính $A^{-1}$, nếu có.

Đáp án

Ma trận liên hợp: $A=\begin{bmatrix} 3 & 4 & -2\\ -6 & 2 & -1\\ 3 & -1 & 8 \end{bmatrix}$.

Ma trận nghịch đảo: $A=\begin{bmatrix} \frac {1} {5} & \frac {4} {15} & - \frac {2} {15}\\ - \frac {6} {15} & \frac {2} {15} & - \frac {1} {15}\\ \frac {1} {5} & - \frac {1} {15} & \frac {8} {15} \end{bmatrix}$

Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép khử Gauss-Jordan

Phép khử Gauss-Jordan là một phương pháp tìm ma trận nghịch đảo. Ví dụ

Cho $A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\\ 3& 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ viết thêm ma trận đơn vị co cap bang cap ma tran A vao ngay sau ma tran A. Duoc phan cach bang duong gach ngang. ===> $A= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\\ 3& 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\\----&----&---- \\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$. Sau do dung phep bien doi so cap bien doi ma tran A da cho dan ve ma tran don vi, khi do ma tran don vi vua viet se tro thanh ma tran nghich dao cua ma tran A can tim.

Xem thêm

• phép nhân ma trận
• Ma trận đơn vị
• Ma trận giả đảo