Định lý nhị thức

Trong toán học, định lý khai triển nhị thức (ngắn gọn là định lý nhị thức) là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức bậc n thành một đa thức có n+1 số hạng:

$(x+a)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{(n-k)}a^k$

với:

${n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$

Gọi là số tổ hợp chập k của n phần tử.

Định lý này đã được độc độc lập chứng minh bởi hai người đó là:

• Nhà toán học và cơ học Sir Isaac Newton tìm ra trong năm 1665
• Nhà toán học James Gregory tìm ra trong năm 1670

Công thức đã giới thiệu còn mang tên là nhị thức Newton.

Thí dụ

Tam giác Pascal

Định lý này trong các dạng đặc biệt đã được giảng dạy ở các trung học và mang tên là các Hằng đẳng thức đáng nhớ

Ví dụ điển hình nhất của định lý nhị thức là công thức bình phuơng của x + y

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!$

Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn của x + y tương ứng với các hàng sau của tam giác:

$\begin{align} (x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt] (x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt] (x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt] (x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt] (x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7. \end{align}$

Chú ý rằng

1. lũy thừa của x giảm dần cho tới khi đạt đến 0 ($x^0=1$), giá trị bắt đầu là n (n trong $(x+y)^n$.)
2. lũy thừa của y tăng lên bắt đầu từ 0 ($y^0=1$) cho tới khi đạt đến n (n trong $(x+y)^n$.)
3. hàng nth của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng (chú ý rằng đỉnh là hàng 0)
4. với mỗi hàng, tích số (tổng của các hệ số) bằng $2^n$.
5. với mỗi hàng, nhóm tích số bằng $n+1$.

Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ:

$\begin{align} (x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\ &= x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\end{align}$

Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai.

$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!$

Tổng quát

Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức,

Nếu r là một số thực và z là một số phức có module nhỏ hơn 1 thì:

$(1+z)^r = \sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k}z^k$

Trong đó:

${n \choose k} =\frac {n!} {k!(n-k)!}= \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}$

Xem thêm

• Định lý khai triển đa thức
• Định lý luật số lớn
• Tam giác Pascal

Tham khảo

• H Anton, Calculus with Analytic Geometry (NewYork, 1980)