Phương trình bậc hai

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, thuật ngữ phương trình bậc hai thường được hiểu là phương trình đại số bậc hai của một ẩn. Khi nói đến các phương trình có nhiều ẩn hơn, người ta thường chỉ rõ số ẩn, chẳng hạn phương trình bậc hai hai ẩn.

Trong bài này chỉ nói về phương trình bậc hai một ẩn. Các phương trình bậc hai, hai ẩn thường được đề cập đến trong các hệ phương trình.

Đồ thị của hàm bậc hai:
y = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)

Các điểm x = -1 và x = 2 trên trục x mà đồ thị này cắt trục x là nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - x - 2 = 0

Dạng tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn là

a.x^2+b.x+c=0

trong đó a ≠ 0, các số a, bc là các hằng số (thực hoặc phức) được gọi là các hệ số: a là hệ số của x², b là hệ số của xchằng số hay số hạng tự do.

Khi xét trên trường số thực, nghĩa là chỉ tìm các giá trị thực thỏa mãn phương trình, phương trình có thể có hai nghiệm khác nhau (còn nói là hai nghiệm phân biệt), hai nghiệm bằng nhau (có nghiệm kép hoặc nghiệm bội hai) hoặc không có nghiệm (vô nghiệm).

Khi xét trên trường số phức, phương trình luôn có hai nghiệm (có thể phân biệt hoặc không, mà ta sẽ ký hiệu là x_1x_2.

Các nghiệm này có thể tính được nhờ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

Trong một số trường hợp, các phương trình bậc cao hơn cũng có thể quy về một phương trình bậc hai, nhờ cách đặt ẩn phụ, ví dụ:

Phương trình trùng phương

ax^4+bx^2+c=0.

dẫn tới phương trình

a.z^2+b.z+c=0

hay phương trình bậc sáu

2x^6+3x^3+5=0.

dẫn tới:

2z^2+3z+5=0, trong đó z = x^3.

Công thức nghiệm[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức sau cho phép tính nghiệm của phương trình bậc hai theo các giá trị của a, bc, ở đây tạm thời coi chúng là các số thực (xem thêm phần tổng quát hóa dưới đây) với a khác 0. Công thức như sau:

x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.

Dạng khác của các nghiệm viết như sau:


x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}.


Ví dụ
Ví dụ 8x^2 + 10x - 33 = 0. Trong trường hợp này, 8 là hệ số của x2, 10 là hệ số của x, và -33 là số hạng tự do, vì thế a=8, b=10c=-33. Để tìm nghiệm của phương trình, ta tính

x_{1,2}=\frac{-10 \pm \sqrt {10^2-4.8(-33)}} {2.8} Giải ra, ta có x_1=\frac {3} {2}x_2=\frac {-11} {4}.

Số hạng b² − 4ac được gọi là biệt thức, biệt số hay Delta (Δ) của phương trình bậc hai, vì nó làm cho các nghiệm số có thể khác nhau, tùy theo từng trường hợp:

  • Nếu biệt số bằng 0 khi đó hai nghiệm bằng nhau và chúng có giá trị là số thực. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là parabol để mô tả đa thức bậc hai tiếp xúc với trục x tại một điểm duy nhất.
  • Nếu biệt số là một số dương, khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt, cả hai đều là số thực. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là parabol cắt trục x ở hai điểm phân biệt. Ngoài ra, nếu biệt số có căn bậc hai là một số hữu tỷ thì nghiệm là các số hữu tỷ (khi a, b cũng là các số hữu tỷ) -- trong các trường hợp khác chúng là các số vô tỷ.
  • Nếu biệt số là âm, khi đó phương trình cũng có hai nghiệm phân biệt, nhưng cả hai đều là các số phức. Hai nghiệm này là các số phức liên hợp đối với nhau. Trong trường hợp này, parabol không cắt trục x ở điểm nào. Trong chương trình toán học phổ thông, người ta gọi phương trình này là vô nghiệm (không có nghiệm là số thực).

Lưu ý rằng khi tính toán nghiệm số, công thức thông thường của công thức bậc hai không phải là lý tưởng. Xem thêm mất số có nghĩa để biết thêm chi tiết.

Ngoài dạng giải tổng quát, phương trình bậc hai còn có một số hệ quả:

  • Hệ quả 1: trường hợp b=2b'
  • Hệ quả 2: Hệ quả đảo nghiệm cho hệ số ngược

Lời giải[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức bậc hai được tính theo phương pháp Bù bình phương.

ax^2+bx+c=0

Chia phương trình bậc hai cho a (điều này được phép do a khác 0), ta có:


x^2 + \frac{b}{a}  x + \frac{c}{a}=0

nó tương đương với

x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.

thêm bình phương của \frac b {2a} vào cả hai vế của phương trình, ta được

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.

Vế trái bây giờ là một bình phương đúng của x+\frac {b} {2a}. Vế phải có thể viết dưới dạng một phân số với mẫu số chung là 4a². Ta thu được

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.

Lấy căn bậc hai của hai vế, sẽ có

x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}.

Bớt \frac b {2a} từ cả hai vế, ta có

x=\frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\  }}{2a}.

Tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức này và sự chứng minh của nó vẫn chính xác nếu các hệ số a, bc là các số phức, hay tổng quát hơn nữa là phần tử của bất kỳ trường toán học nào mà đặc tính của nó không phải là 2. (Trong các trường với đặc tính 2, phần tử 2a là 0 và không thể chia cho 0.)

Ký hiệu

\pm \sqrt {b^2-4ac  }

trong công thức cần phải hiểu như là "một trong hai phần tử mà bình phương của nó là b² − 4ac, nếu các phần tử như thế tồn tại". Trong một số trường, một số phần tử không có căn bậc hai và một số thì có tới hai; chỉ có 0 có duy nhất một căn bậc hai, ngoại trừ các trường với đặc tính 2.

Công thức Viète[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức Viète cho ta thấy quan hệ đơn giản giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp đa thức bậc hai, chúng có dạng như sau:

ax^2+bx+c=0
 x_1 + x_2 = \frac{-b}{a},
 x_1 x_2 = \frac{c}{a}.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Người Babylon (khoảng năm 400 TCN) và Trung Quốc cổ đại đã sử dụng phương pháp phần bù bình phương để giải phương trình bậc hai với các nghiệm dương, nhưng họ không có công thức tổng quát. Euclide đã đưa ra phương pháp hình học trừu tượng hơn vào khoảng năm 300 TCN.

Nhà toán học đầu tiên được biết như là người đã sử dụng công thức đại số tổng quát, cho phép có các nghiệm dương và âm là Brahmagupta (Ấn Độ, thế kỷ 7). Al-Khwarizmi (Ả Rập, thế kỷ 11) đã phát triển một cách độc lập một tập hợp các công thức để tìm nghiệm dương. Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (tên Latinh là Savasorda) đã lần đầu tiên giới thiệu với người châu Âu lời giải trọn vẹn trong cuốn sách Liber embadorum của ông.

Shridhara được cho là một trong số các nhà toán học đầu tiên đưa ra quy tắc chung để giải phương trình bậc hai. Nhưng ở đây có sự tranh cãi về điều đó. Quy tắc như sau (diễn giải bởi Bhaskara II):

Nhân cả hai vế với một đại lượng đã biết bằng 4 lần hệ số của bình phương của ẩn (4a); thêm vào cả hai vế một lượng đã biết bằng bình phương của hệ số của ẩn (b²); sau đó lấy căn bậc hai.[1]

Các trường hợp nhận biết đặc biệt[sửa | sửa mã nguồn]

Khi phương trình bậc 2 đã cho có dấu hiệu sau:
1) a+b+c=0 (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là:x_1 = 1; x_2=\frac{c}{a}.

2) a-b+c=0 (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là:x_1 = -1; x_2=-\frac{c}{a}.

3) Nếu a.c<0 (tức a và c trái dấu nhau) thì phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Chủ đề liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính liên quan đến các phương trình đại số
Bài toán Lừa và La | Biểu thức đại số | Chu kỳ toán | Công thức bậc ba | Công thức bậc hai | Dạng bậc năm cơ bản | Định lý bất khả Abel | Định lý tối giản Casus | Định lý Viète | Hệ phương trình | Phương trình bậc hai | Phương trình bậc ba | Phương trình bậc bốn | Phương trình bậc năm | Phương trình bậc sáu | Phương trình siêu việt Lambert | Phương trình tuyến tính