Số Lucas

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Số Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas và các dãy tương tự. Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãy Lucas bằng tổng của hai số liền trước nó. Dãy số gồm thương giữa hai số Lucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng.

Tuy vậy khác với dãy Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là L0 = 2 và L1 = 1 (trong dãy Fibonacci là 0 và 1). Chính vì thế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci.

Công thức truy hồi của dãy:

 
  L_n :=
  \begin{cases}
    2               & \mbox{if } n = 0; \\
    1               & \mbox{if } n = 1; \\
    L_{n-1}+L_{n-2} & \mbox{if } n > 1. \\
   \end{cases}

Các số đầu tiên của dãy Lucas:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123,... (dãy A000032 trong OEIS)

Số Lucas có chỉ số âm[sửa | sửa mã nguồn]

Sử dụng công thức truy hồi ngược lại Ln-2 = Ln - Ln-1 để mở rộng số Lucas tới các số nguyên âm. Ta có thể thêm các giá trị sau vào đãy Lucas (với -5\leq{}n\leq5): (... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11,...).

Các số Lucas âm có tính chất (chứng minh bằng quy nạp):

  • L_{-n}=(-1)^nL_n.\!

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức tổng quát của số Lucas:

L_n = \varphi^n + (1-\varphi)^{n} = \varphi^n + (- \varphi)^{- n}=\left({ 1+ \sqrt{5} \over 2}\right)^n + \left({ 1- \sqrt{5} \over 2}\right)^n\, ,

với \varphi bằng Tỉ lệ vàng.

Một tính chất khá thú vị, L_n là số nguyên gần với \varphi^n nhất.

Mối liên hệ với các số Fibonacci[sửa | sửa mã nguồn]

Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau:

  • \,L_n = F_{n-1}+F_{n+1}
  • tổng quát hơn là công thức sau:

 L_n = F_{k+2}.L_{n-k} + F_{k+1}.L_{n-k-1} với mọi k<n; (2.1)

  • \,L_n^2 = 5 F_n^2 + 4 (-1)^n, từ hệ thức liên hệ này suy ra tỉ số L_n \over F_n\, tiến đến \sqrt{5}\, khi n\, tiến đến +∞.
  • \,F_{2n} = L_n F_n
  • \,F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}

Khi chỉ số là số nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Ln đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố. Ngoài ra, Ln cũng có tính chất này với một số trị khác của n.

Tính chia hết giữa các số Lucas[sửa | sửa mã nguồn]

Lmn chia hết cho Ln nếu m là số lẻ. Điều đó dẫn đến điều kiện cần của n để Ln là số nguyên tố.

Số nguyên tố Lucas[sửa | sửa mã nguồn]

Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,... (dãy A005479 trong OEIS)

Nếu Ln là số nguyên tố thì n bằng 0, nguyên tố, hoặc là lũy thừa của 2.[1]

Các số Lucas có dạng L2^m là số nguyên tố được biết cho đến nay là m = 1, 2,3 và 4.

Đa thức Lucas[sửa | sửa mã nguồn]

Các đa thức Lucas được xác định mô phỏng theo dãy số Lucas. Dãy đa thức này được xây dựng bằng công thức truy hồi như sau:

L_n(x) = \begin{cases}
2, & \mbox{if } n = 0 \\
x, & \mbox{if } n = 1 \\
x L_{n - 1}(x) + L_{n - 2}(x), & \mbox{if } n \geq 2
\end{cases}

Sau đây là công thức dạng tường minh của các đa thức Lucas đầu tiên:

L_0(x)=2 \,
L_1(x)=x \,
L_2(x)=x^2+2 \,
L_3(x)=x^3+3x \,
L_4(x)=x^4+4x^2+2 \,
L_5(x)=x^5+5x^3+5x \,
L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2 + 2 \,

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Chris Caldwell, "The Prime Glossary: Lucas prime" from The Prime Pages.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]