Số Lucas

Số Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học François Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas và các dãy tương tự. Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãy Lucas bằng tổng của hai số liền trước nó. Dãy số gồm thương giữa hai số Lucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng.

Tuy vậy khác với dãy Fibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là L₀ = 2 và L₁ = 1 (trong dãy Fibonacci là 0 và 1). Chính vì thế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci.

Công thức truy hồi của dãy:

$L_n := \begin{cases} 2 & \mbox{if } n = 0; \\ 1 & \mbox{if } n = 1; \\ L_{n-1}+L_{n-2} & \mbox{if } n > 1. \\ \end{cases}$

Các số đầu tiên của dãy Lucas:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... (dãy A000032 trong OEIS)

Số Lucas có chỉ số âm

Sử dụng công thức truy hồi ngược lại L_n-2 = L_n - L_n-1 để mở rộng số Lucas tới các số nguyên âm. Ta có thể thêm các giá trị sau vào đãy Lucas (với $-5\leq{}n\leq5$): (... -11, 7, -4, 3, -1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...) .

Các số Lucas âm có tính chất (chứng minh bằng quy nạp):

• $L_{-n}=(-1)^nL_n.\!$

Tính chất

Công thức tổng quát

Công thức tổng quát của số Lucas:

$L_n = \varphi^n + (1-\varphi)^{n} = \varphi^n + (- \varphi)^{- n}=\left({ 1+ \sqrt{5} \over 2}\right)^n + \left({ 1- \sqrt{5} \over 2}\right)^n\, ,$

với $\varphi$ bằng Tỉ lệ vàng.

Một tính chất khá thú vị, $L_n$ là số nguyên gần với $\varphi^n$ nhất.

Mối liên hệ với các số Fibonacci

Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau:

• $\,L_n = F_{n-1}+F_{n+1}$
• tổng quát hơn là công thức sau:

$L_n = F_{k+2}.L_{n-k} + F_{k+1}.L_{n-k-1}$ với mọi k<n; (2.1)

Chứng minh 

Chứng minh quy nạp.

k=0, thì công thức (2.1) hiển nhiên đúng.

Giả sử (2.1) đúng đến k<n-1, ta chứng minh nó đúng với k+1, thật vậy:

$L_n$

$= F_{k+2}.L_{n-k} + F_{k+1}.L_{n-k-1}$

$= F_{k+2}.(L_{n-k-1}+L_{n-k-2}) + F_{k+1}.L_{n-k-1}$

$= (F_{k+2} + F_{k+1}).L_{n-k-1} + F_{k+2}.L_{n-k-2}$

$= F_{k+3}.L_{n-k-1} + F_{k+2}.L_{n-k-2}.$

Vậy là (2.1) cũng đúng với k+1.

Suy ra điều phải chứng minh.

• $\,L_n^2 = 5 F_n^2 + 4 (-1)^n$, từ hệ thức liên hệ này suy ra tỉ số $L_n \over F_n\,$ tiến đến $\sqrt{5}\,$ khi $n\,$ tiến đến +∞.

Chứng minh 

Sử dụng công thức tổng quát.

• $\,F_{2n} = L_n F_n$

Chứng minh 

Chứng minh, sử dụng công thức tổng quát:

$L_nF_n = (\varphi^n + (1-\varphi)^{n} )({{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}})$

Rút gọn lại được:

$L_nF_n = )({{\varphi^{2n}-(1-\varphi)^{2n}} \over {\sqrt 5}} = L_{2n}$

• $\,F_n = {L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}$

Chứng minh 

Chứng minh bằng quy nạp theo n.

Khi chỉ số là số nguyên tố

L_n đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố. Ngoài ra, L_n cũng có tính chất này với một số trị khác của n.

Tính chia hết giữa các số Lucas

L_mn chia hết cho L_n nếu m là số lẻ. Điều đó dẫn đến điều kiện cần của n để L_n là số nguyên tố.

Chứng minh 

Sử dụng công thức tổng quát của $L_n$, để chứng minh hệ thức truy hồi sau:

$L_{mn+2n} = L_{mn}.L_{2n} - L_{|mn-2n|} (1)$

Từ đó suy ra:

$L_{3n} = L_{n+2n} = L_{n}.L_{2n} - L_{n}$

Suy ra $L_{3n}$ chia hết cho $L_{n}$.

Lại dùng công thức truy hồi (1), suy ra $L_{5n}$ chia hết cho $L_{n}$.

Lặp lại thao tác trên k lần liên tiếp, suy ra $L_{(2k+1)n}$ chia hết cho $L_{n}$, điều phải chứng minh.

Số nguyên tố Lucas

Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là:

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... (dãy A005479 trong OEIS)

Nếu L_n là số nguyên tố thì n bằng 0, nguyên tố, hoặc là lũy thừa của 2.

Các số Lucas có dạng L_$2^m$ là số nguyên tố được biết cho đến nay là $m$ = 1, 2,3 và 4.

Đa thức Lucas

Các đa thức Lucas được xác định mô phỏng theo dãy số Lucas. Dãy đa thức này được xây dựng bằng công thức truy hồi như sau:

$L_n(x) = \begin{cases} 2, & \mbox{if } n = 0 \\ x, & \mbox{if } n = 1 \\ x L_{n - 1}(x) + L_{n - 2}(x), & \mbox{if } n \geq 2 \end{cases}$

Sau đây là công thức dạng tường minh của các đa thức Lucas đầu tiên:

$L_0(x)=2 \,$

$L_1(x)=x \,$

$L_2(x)=x^2+2 \,$

$L_3(x)=x^3+3x \,$

$L_4(x)=x^4+4x^2+2 \,$

$L_5(x)=x^5+5x^3+5x \,$

$L_6(x)=x^6+6x^4+9x^2 + 2 \,$

Xem thêm

• Số Fibonacci

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Lucas Number" từ MathWorld.
• Dr Ron Knott
• Lucas numbers and the Golden Section
• A Lucas Number Calculator can be found here.
• A Tutorial on Generalized Lucas Numbers