Tích chập

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Tích chập của 2 xung vuông, kết quả sóng đầu ra có dạng tam giác.
Tích chập của 1 xung vuông với 1 đáp ứng xung của 1 mạch RC.

Trong toán học và đặc biệt là trong giải tích hàm, tích chập là 1 phép toán thực hiện đối với 2 hàm số fg, kết quả cho ra 1 hàm số thứ 3. Phép tích chập cũng tương tự như phép tương quan chéo. Nó được ứng dụng trong xác suất, thống kê, thị giác máy tính (computer vision), xử lý ảnhxử lý tín hiệu, kỹ thuật điện, và các phương trình vi phân.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Tích chập của hàm số ƒg được viết là ƒg, là 1 phép biến đổi tích phân đặc biệt:

(f * g )(t)\ \ \,   \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau)\, g(t - \tau)\, d\tau
= \int_{-\infty}^\infty f(t-\tau)\, g(\tau)\, d\tau.       (giao hoán)

Một cách tổng quát, nếu fg là hàm số phức trong không gian Rd, thì tích chập của chúng được định nghĩa như sau:

(f * g )(x) = \int_{\mathbf{R}^d} f(y)g(x-y)\,dy = \int_{\mathbf{R}^d} f(x-y)g(y)\,dy.
Hình ảnh minh họa tích chập.
  1. Thể hiện mỗi hàm bằng một biến giả \tau.
  2. Lấy đối xứng hàm qua trục tung: g(\tau)g(-\tau).
  3. Thêm biến thời gian, t, cho phép g(t-\tau) trượt dọc theo trục \tau.
  4. Bắt đầu t từ -∞ và trượt đến +∞.
Convolution3.PNG

Tích chập tuần hoàn[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu hàm số gT tuần hoàn với chu kỳ T > 0, và hàm f sao cho ƒgT tồn tại, thì tích chập của chúng cũng tuần hoàn với chu kỳ T và được định nghĩa như sau:

(f * g_T)(t) \equiv \int_{t_0}^{t_0+T} \left[\sum_{k=-\infty}^\infty f(\tau + kT)\right] g_T(t - \tau)\, d\tau,

Với to là giá trị tùy ý.

Tích chập rời rạc[sửa | sửa mã nguồn]

Với các hàm số phức fg xác định trên tập số nguyên Z, thì tích chập của chúng được định nghĩa:

(f * g)[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{m=-\infty}^\infty f[m]\, g[n - m]
= \sum_{m=-\infty}^\infty f[n-m]\, g[m].       (giao hoán)

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Tích chập được định nghĩa là 1 phép toán trên không gian khả tích của các hàm tuyến tính, cho nên nó có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối.

Giao hoán
f * g = g * f \,
Kết hợp
f * (g * h) = (f * g) * h \,
Phân phối
f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,
Kết hợp với phép nhân vô hướng
a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,, với giá trị {a}\, là một số phức bất kỳ.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Bracewell, R. (1986), The Fourier Transform and Its Applications (ấn bản 2), McGraw–Hill, ISBN 0071160434 .
  • Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Abstract harmonic analysis. Vol. I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 115 (ấn bản 2), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-09434-0, MR 551496 .
  • Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970), Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0262773 .
  • Hörmander, L. (1983), The analysis of linear partial differential operators I, Grundl. Math. Wissenschaft. 256, Springer, ISBN 3-540-12104-8, MR 0717035 .
  • Kassel, Christian (1995), Quantum groups, Graduate Texts in Mathematics 155, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94370-1, MR 1321145 .
  • Knuth, Donald (1997), Seminumerical Algorithms (ấn bản 3), Reading, Massachusetts: Addison–Wesley, ISBN 0-201-89684-2 .
  • Rudin, Walter (1962), Fourier analysis on groups, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 12, Interscience Publishers (a division of John Wiley and Sons), New York–London, ISBN 047152364X, MR 0152834 .
  • Bản mẫu:Springer.
  • Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
  • Strichartz, R. (1994), A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, CRC Press, ISBN 0849382734 .
  • Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (ấn bản 2), New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. (xuất bản 1986), ISBN 978-0828403245 .
  • Uludag, A. M. (1998), “On possible deterioration of smoothness under the operation of convolution”, J. Math. Anal. Appl. 227 no. 2, 335–358 
  • Treves, François (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, ISBN 0486453529 .
  • von zur Gathen, J.; Gerhard, J. (2003), Modern Computer Algebra, Cambridge University Press, ISBN 0-521-82646-2 .
  • Diggle, P. J. (1995), “A kernel method for smoothing point process data”, Journal of the Royal Statistical Society, Series C) 34 (1985) 138–147 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]