Tích phân bội

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Tích phân bội là một loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhiều hơn một biến thực, ví dụ, ƒ(xy) or ƒ(xyz). Các tích phân của một hàm hai biến trên một vùng trong không gian ℝ2 được gọi là tích phân kép.

Giới thiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Tích phân xác định của một hàm số dương có 1 biến là một diện tích nằm giữa đồ thị của hàm số đó và trục x, tích phân kép của một hàm số dương 2 biến là thể tích được xác định bởi bề mặt tạo ra bởi hàm số đó (mặt phẳng trong tọa độ 3 chiều z = ƒ(xy)) và mặt phẳng chứa tập xác định của nó. Nếu có nhiều biến hơn thì phép tính tích phân sẽ tạo ra các hypervolume của các hàm đa chiều.

Tích phân của một hàm n biến: f(x1x2, ..., xn) trên một tập xác định D thường được biểu diễn bằng nhiều kí hiệu tích phân lồng nhau và được tính theo tứ tự từ trong ra ngoài (từ phải sang trái). Miền tích phân hoặc được biểu diễn dạng kí hiệu đối với từng dấu tích phân, hoặc được viết ngắn gọn bằng một biến phía trên của kí hiệu tích phân tận cùng bên phải:

 \int \cdots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 \!\cdots dx_n

Vì khái niệm nguyên hàm chỉ được xác định đối với các hàm số có một biến thực, nên định nghĩa thông thường của tích phân bất định không mở rộng cho tích phân nhiều biến.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Cho n > 1, tập xác định T gồm n đoạn nửa mở được định nghĩa là::

T=\left [ a_1, b_1 \right ) \times \left [ a_2, b_2 \right ) \times \cdots \times \left [ a_n, b_n \right ) \subseteq \mathbb R^n.

Chia mỗi đoạn [aj, bj) thành một tập Ij các khoảng nhỏ không trùng nhau ijα, trong đó các khoảng nhỏ này đóng bên trái và mở bên phải.

Sau đó, một tập hợp phần tử hữu hạn C được xác lập

C=I_1\times I_2\times \cdots \times I_n

là một tập con của T; trong đó Ck là các phần không trùng nhau và tập hợp của chúng là T.

Cho một hàm f: TR xác đinh trên T, trong đó tập con C của T được xác định như trên, như vậy C là một tập có m phần tử Cm

T=C_1\cup C_2\cup \cdots \cup C_m

Chúng ta có thể tính gần đúng thể tích tổng thứ n-chiều được giới hạn bên dưới bởi T và bên trên bởi f theo tổng Riemann:

\sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}(C_k)

với Pk là điểm ở Ck và m(Ck) là tích của số đoạn Ck.

Hàm f được cho là khả tích Riemann nếu giới hạn

S=\lim_{\delta \to 0} \sum_{k=1}^m f(P_k)\, \operatorname{m}\, (C_k)

tồn tại, trên tất cả các tập con của T có đường kính tối đa δ.

Nếu f khả tích Riemann, thì S được gọi là khả tích Riemann của f trên T và được kí hiệu là

 \int \cdots \int_T\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 \!\cdots dx_n

Có thể viết ngắn gọn là

\int_T\!f(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}.

với x là số biến (x1,... xn) và dxvi phân thể tích n-chiều.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]