Vết (đại số tuyến tính)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong đại số tuyến tính, vết (tiếng Anh: trace) của một ma trận vuông A bậc nxn được xác định bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính (đường nối từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải) của A [1].

\mathrm{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} \,

với aii là ký hiệu phần tử ở hàng thứ i và cột thứ i của A. Tương đương với vết của ma trận là tổng của các trị riêng của nó, và nó bất biến khi thay đổi cơ sở. Sự đặc trưng hóa này có thể sử dụng để xác định vết cho các toán tử tuyến tính trong trường hợp tổng quát. Chú ý rằng, vết chỉ được định nghĩa cho một ma trận vuông.

Xét về ý nghĩa hình học, vết ma trận có thể được giải thích như là một sự thay đổi nhỏ của thể tích (như đạo hàm của định thức), và được miêu tả chính xác bằng công thức Jacobi.

Ký hiệu của nó thường là Sp hoặc Tr.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Gọi T là một toán tử tuyến tính biểu diễn bằng ma trận

\begin{bmatrix}-2&2&-3\\
-1& 1& 3\\
2 &0 &-1\end{bmatrix}.

Thì tr(T) = −2 + 1 − 1 = −2.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Liên hệ với các giá trị riêng[sửa | sửa mã nguồn]

Vết của ma trận A bằng tổng các giá trị riêng của nó [2].

tr(A)=\sum_{i=1}^n\lambda_{i},

trong đó \lambda_{i} là giá trị riêng của A.

Tuyến tính[sửa | sửa mã nguồn]

Cho A,B là các ma trận vuông cùng cấp và c là hằng số, khi đó:

tr(A+B)=tr(A)+tr(B),
tr(c\cdot A)=c\cdot tr(A).

Giao hoán[sửa | sửa mã nguồn]

Cho A là ma trận m hàng n cột, còn B là ma trận n hàng và m cột, thì [2]:

tr(AB)=tr(BA).

Vết của ma trận liên hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì, Cho P là ma trận vuông cấp n và khả nghịch. Liên hợp của A theo PPAP^{-1}, khi đó ta có:

tr(A)=tr(PAP^{-1}),

có nghĩa là khi ta lấy liên hợp của ma trận thì vết của nó không thay đổi.

Vết của ma trận chuyển vị[sửa | sửa mã nguồn]

Cho A là ma trận vuông cấp n bất kì, A^T là ma trận chuyển vị của nó. Ta có:

tr(A)=tr(A^T).

Vết của tích ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng[sửa | sửa mã nguồn]

Vết của tích ma trận đối xứngma trận phản đối xứng bằng 0. Có nghĩa là: Nếu Ama trận đối xứngBma trận phản đối xứng, thì:

tr(AB)=0.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, trang 115.
  2. ^ a ă Nguyễn Văn Hữu - Nguyễn Hữu Dư, Phân tích thống kê và dự báo, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, trang 27.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]