Đạo hàm hữu hình

Trong cơ học môi trường liên tục, đạo hàm hữu hình mô tả tốc độ thay đổi theo thời gian của một đại lượng vật lý nào đó (như nhiệt hoặc động lượng) của một yếu tố vật chất có trường vận tốc vĩ mô phụ thuộc không gian và thời gian. Đạo hàm hữu hình có thể được coi như là một sự kết nối giữa mô tả Euler và Lagrangian của biến dạng trong môi trường liên tục.

Ví dụ, trong động lực học chất lưu, lấy trường hợp trường vận tốc nói trên là trường vận tốc dòng chảy, và đại lượng đang được xem xét là nhiệt độ của chất lưu. Trong trường hợp này, đạo hàm hữu hình mô tả sự biến đổi nhiệt độ của một khối nhỏ (parcel) chất lưu nhất định theo thời gian, khi nó đang được dòng chảy chất lưu vận chuyển dọc theo quỹ đạo chuyển động (pathline) của nó.

Tên gọi khác

Đạo hàm hữu hình có rất nhiều cái tên gọi khác, bao gồm:

• Đạo hàm bình lưu (advective)
• Đạo hàm đối lưu (convective)
• Đạo hàm theo sau chuyển động
• Đạo hàm thủy động lực học
• Đạo hàm Lagrangian
• Đạo hàm phần tử
• Đạo hàm thực
• Đạo hàm trọng yếu
• Đạo hàm Stokes
• Đạo hàm toàn phần

Định nghĩa

Đạo hàm hữu hình được định nghĩa cho trường tensor vĩ mô bất kỳ y, trường tensor này chỉ phụ thuộc vào các tọa độ không gian và thời gian, y = y(x, t), như sau:

${\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,$

Trong đó ∇y là đạo hàm hiệp biến của trường tensor y, và u(x, t) là vận tốc dòng chảy. Nói chung đạo hàm đối lưu u•∇y của trường tensor y, chứa đạo hàm hiệp biến của trường này, và có thể được giải thích như là đạo hàm tensor đường dòng u•(∇y), hoặc là đạo hàm theo hướng đường dòng (u•∇) y của trường y, cả hai cách giả thích này đều dẫn đến kết quả tương tự. Số hạng không gian chứa vận tốc dòng chảy này (u•∇y) là số hạng duy nhất mô tả sự vận chuyển của trường tensor do dòng chảy gây ra, còn các số hạng khác chỉ mô tả sự biến đổi nội tại của trường tensor này, và hoàn toàn không phụ thuộc vào sự hiện diện của dòng chảy. Điều dễ gây nhầm lẫn là, đôi khi cái tên "đạo hàm đối lưu" được sử dụng thay thế cho đạo hàm hữu hình đầy đủ D/Dt, thay vì chỉ cho số hạng không gian, u•∇., mặc dù bản thân nó cũng là một danh pháp dư thừa. Thực tế là, đạo hàm hữu hình chỉ bằng với đạo hàm đối lưu khi không có sự hiện diện của dòng chảy. Ảnh hưởng của số hạng không phụ thuộc thời gian (u•∇y) đối với trường vô hướng và trường tensor được định nghĩa tương ứng là sự bình lưu (advection) và sự đối lưu (convection).

Đối với trường vô hướng và trường vector

Ví dụ, đối với một trường vô hướng vĩ mô φ(x, t) và một trường vector vĩ mô A(x, t) ta có:

${\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,$

${\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ,$

Trong trường hợp trường vô hướng φ thì ∇φ đơn giản chỉ là gradient của một đại lượng vô hướng, trong khi ∇A là đạo hàm hiệp biến của trường vector vĩ mô. Cụ thể đối với một trường vô hướng trong hệ tọa độ Descartes ba chiều (x₁,x₂,x₃), số hạng đối lưu là:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.$

Nguồn gốc

Xem xét một đại lượng vô hướng φ = φ(x, t), trong đó t được hiểu là thời gian và x là vị trí. φ có thể là một số biến vật lý nào đó như nhiệt độ hay nồng độ hóa chất. Đại lượng vật lý này tồn tại trong một môi trường liên tục, có vận tốc vĩ mô được đại diện bởi trường vector u(x, t).

Đạo hàm (toàn phần) theo thời gian của φ được mở rộng thông qua quy tắc chuỗi đa biến:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .$

Rõ ràng là đạo hàm này phụ thuộc vào vector:

${\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}$

vector này mô tả quỹ đạo đã chọn x(t) trong không gian. Ví dụ, nếu chọn ${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0}$, đạo hàm thời gian sẽ bằng với đạo hàm thời gian từng phần, điều này nhất quán với định nghĩa của đạo hàm từng phần (đạo hàm riêng): ''là một đạo hàm được thực hiện đối với một biến nào đó (trong trường hợp này là thời gian) trong khi giữ cho các biến khác không đổi (không gian trong hợp này)''. Điều này hoàn toàn hợp lý bởi vì nếu ${\dot {\mathbf {x} }}=0$, thì tức là đạo hàm được thực hiện tại một vị trí cố định nào đó. Đạo hàm tại vị trí cố định này được gọi là đạo hàm Euler.

Một ví dụ cho trường hợp này là: một vận động viên bơi đứng yên tại một vị trí nào đó trong hồ bơi và cảm nhận được sự thay đổi nhiệt độ trong một hồ nước vào sáng sớm: nước dần dần trở nên ấm áp hơn vì sức nóng từ mặt trời.

Nếu, thay vào đó, quỹ đạo x(t) không dừng lại, đạo hàm thời gian (toàn phần) của φ có thể thay đổi do sự thay đổi của quỹ đạo x(t). Ví dụ, hãy tưởng tượng một vận động viên đang ở trong một hồ bơi trong nhà, tĩnh lẵng, và không bị ảnh hưởng bởi ánh mặt trời. Một đầu của hồ bơi được giữ tại một nhiệt độ nóng không đổi nào đó và đầu kia cũng được giữ tại một nhiệt độ lạnh không đổi. Thì, bằng cách bơi từ đầu này qua đầu kia người vận động viên bơi sẽ cảm nhận được sự thay đổi của nhiệt độ theo thời gian, mặc dù nhiệt độ tại một điểm (cố định) bất kỳ là một hằng số. Điều này là do đạo hàm được lấy theo vị trí đang thay đổi của người vận động viên. Nếu một cảm biến nhiệt độ gắn với vận động viên bơi thì nó sẽ hiển thị nhiệt độ thay đổi theo thời gian, mặc dù hồ bơi được giữ tại một phân bố nhiệt độ ổn định (không thay đổi theo thời gian).

Cuối cùng ta có được đạo hàm hữu hình khi quỹ đạo quy chiếu x (t) được gắn cố định (solidal) với dòng cục bộ trong môi trường liên tục đang xét (hệ quy chiếu Lagrange) và do đó vận tốc tham chiếu bằng với vận tốc vĩ mô trong môi trường liên tục:

${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .$

Vì vậy, đạo hàm hữu hình của trường vô hướng φ là:

${\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .$

Ví dụ cho trường hợp này là một vật thể trọng lượng nhẹ, nổi tự nhiên, trôi dạt trên một dòng sông đang chảy và nhiệt độ dòng sông thay đổi, có thể do một phần của dòng sông chịu nắng và phần còn lại nằm dưới bóng dâm. Toàn bộ nước sông sẽ được làm nóng lên khi mặt trời ngày càng lên cao. Những thay đổi gây ra bởi sự chuyển động của vật thể (bản thân chuyển động của vật thể là do chuyển động của chất lưu gây ra) được gọi là bình lưu (hoặc được gọi là đối lưu nếu trong trường hợp vận chuyển trường vector).

Định nghĩa trên được rút ra dựa vào tính chất vật lý của dòng chảy chất lưu; Tuy nhiên không có quy luật vật lý nào được viện dẫn ở đây (ví dụ, đã không chứng minh rằng một phần tử trọng lượng nhẹ nổi trên một dòng sông sẽ chảy cùng với vận tốc nước). Vì vậy, nhiều khái niệm vật lý có thể được viết ngắn gọn với việc sử dụng đạo hàm hữu hình. Trường hợp tổng quát của sự bình lưu (advection), tuy nhiên, lại dựa vào sự bảo toàn khối lượng trong dòng chảy chất lưu; do đó tình huống trở nên hơi khác nếu sự bình lưu xảy ra trong môi trường không bảo toàn.

Chỉ có một quỹ đạo duy nhất được xem xét cho trường vô hướng nói trên. Đối với trường vector, gradient của trường vector sẽ trở thành một đạo hàm tensor; còn đối với các trường tensor chúng ta phải kể đến không chỉ chuyển động tịnh tiến của hệ tọa độ do sự chuyển dịch của chất lưu mà còn phải kể đến sự xoay và co giãn của hệ tọa độ. Điều này đạt được nhờ đạo hàm thời gian đối lưu phía trên.

Các hệ tọa độ trực giao

Có thể chứng minh ra rằng, trong các hệ tọa độ trực giao, thành phần thứ j của sự đối lưu được tính bằng công thức sau:

$[\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),$

trong đó h_i' là các tensor metric:

$h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.$

Trong trường hợp đặc biệt của hệ tọa độ 3 chiều Descartes (x,y,z), công thức trên được rút gọn như sau:

$\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\[2ex]\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\[2ex]\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}.$

Xem thêm

• Phương trình Navier–Stokes
• Phương trình Euler (Động lực học chất lưu)
• Đạo hàm (tổng quát)
• Đạo hàm Lie
• Quan hệ Levi-Civita
• Spatial acceleration

Đọc thêm

• Cohen, Ira M.; Kundu, Pijush K. Fluid Mechanics (ấn bản 4). Academic Press. ISBN 978-0-12-373735-9.
• Lai, Michael; Krempl, Erhard; Ruben, David. Introduction to Continuum Mechanics (ấn bản 4). Elsevier. ISBN 978-0-7506-8560-3.