Toán tử Hamilton

Trong cơ học lượng tử, toán tử Hamilton là một toán tử tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ gây nên sự biến đổi theo thời gian, được kí hiệu là H, Ȟ hoặc Ĥ. Như ta đã biết thì năng lượng toàn phần của hệ bằng tổng thế năng và động năng của hệ;

${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}$

trong đó

${\hat {V}}=V=V({\mathbf {r}},t)$

${\hat {V}}$ là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là thế năng.

${\hat {T}}={\frac {{\mathbf {\hat {p}}}\cdot {\mathbf {\hat {p}}}}{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$

${\hat {p}}$ là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là động lượng.

$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!$

${\hat {T}}$ là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là động năng.

Kết hợp 2 toán tử trên, ta có toán tử Hamilton được sử dụng trong phương trình Schrödinger

${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {{\mathbf {\hat {p}} }\cdot {\mathbf {\hat {p}} }}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}$

Phương trình Schrodinger và toán tử Hamilton

Xem bài viết chính phương trình Schrodinger

Cho hàm sóng $\Psi (\mathbf {r} ,t)$.Ta có phương trình Schrödinger phụ thuộc vào thời gian của hàm sóng đó là

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$.

Trong đó ${\hat {H}}$ là toán tử Hamilton. Giả sử $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ có thể viết dưới dạng tích hàm theo thời gian với hàm sóng tại thời điểm t=0; $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ =$\Psi (\mathbf {r} ,0)$ ${f(t)}$ Đạo hàm theo t.Ta có:

${\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)$=$\Psi (\mathbf {r} ,0)$${df(t)/}$ ${dt}$

Và đạo hàm bậc 2 theo r.Ta có:

${\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ^{2}(\mathbf {r} ,\,t)$ $/\partial r^{2}$=$f(t)d^{2}\Psi (\mathbf {r} ,0)/dr^{2}$

Thay vào phương trình Schrödinger Ta có

$i\hbar$ $\Psi (\mathbf {r} ,0)$ ${df(t)/}$${dt}$=${\hat {H}}$$\Psi (\mathbf {r} ,0)$ ${f(t)}$

Chia 2 vế cho $\Psi (\mathbf {r} ,0)$ . Ta được phương trinh vi phân.

$i\hbar$${df(t)/}$${dt}$=${\hat {H}}$ ${f(t)}$

Giải phương trình vi phân này ta được ${f(t)}$ =$e^{-iHt/\hbar }$ Vậy hàm sóng được viết dưới dạng

$\Psi (\mathbf {r} ,t)$=$\Psi (\mathbf {r} ,0)$ $e^{-iHt/\hbar }$