Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Giả lồi”

Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào

Nội tuyến

Phiên bản lúc 12:57, ngày 20 tháng 1 năm 2016

Trong toán học, cụ thể là trong lý thuyết hàm số nhiều biến số phức, các tập giả lồi là các tập mở trong không gian phức n chiều Cⁿ có tính chất đặc biệt, liên quan đến tính mở rộng các hàm chỉnh hình nhiều biến phức. Cho một miền G của Cⁿ, tức là một tập mở và liên thông. Miền G được gọi là giả lồi nếu tồn tại một hàm số đa điều hòa dưới và liên tục liên tục u trên G sao cho các tập mức

\left\{z\in G\ |\ u(z)<c\right\}

là tập compact tương đối của G, với mọi số thực c. Nói cách khác, một miền G là giả lồi nếu nó có một hàm số đa điều hòa dưới "vét cạn" liên tục. Hàm số vét cạn u có thể lấy là hàm $u(z)=-\log dist(z,\partial G)$ .

Miền giả lồi được dùng để miêu tả các miền chỉnh hình như sau: "Một miền trong Cⁿ là miền chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó là miền giả lồi." Đây chính là lời giải của bài toán Levi.

Mọi tập lồi có thể giả lồi. Giả lồi Levi còn được gọi đơn giản là giả lồi. Khi G có một tập C² làm biên. Một cách đặc biệt, với biên C² có thể chỉ ra rằng G có một hàm số định nghĩa, i.e., tồn tại $\rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R}$ là C² cho nên $G=\left\{\rho <0\right\}$ và $\partial G=\left\{\rho =0\right\}.$ Bây giờ, G là giả lồi nếu và chỉ nếu p ∈ ∂G và w thuộc không gian phức tiếp tuyến:

\nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0

ta sẽ có

\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.

Nếu G không có biên C² thì dữ kiện sẽ trở nên dễ hiểu hơn.

Mệnh đề 1: Nếu G giả lồi, nó sẽ có biên, các miền giả lồi Levi mạnh $G_{k}\subset G$ với biên $C^{\infty }$ (mịn) là compact trong G, thật vậy

G=\bigcup _{i=1}^{\infty }G_{k}.

Nó đúng vì một khi φ theo như định nghĩa giả lồi ta có thể thực sự tìm được hàm "cạn" của $C^{\infty }.$

Trường hợp n = 1

Trên đường thẳng phức C¹, mọi tập mở đều giả lồi. Khái niệm giả lồi thường được sử dụng trong không gian phức có số chiều (hiển nhiên là nguyên dương) lớn hơn 1.

Xem thêm

Tham khảo

Lars Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. (ISBN 0-444-88446-7).
Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

Bài viết này có sử dụng tài liệu từ Pseudoconvex tại PlanetMath, với giấy phép sử dụng Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

Liên kết ngoài

Range, R. Michael (tháng 2 năm 2012), “WHAT IS...a Pseudoconvex Domain?” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 59 (2): 301–303, doi:10.1090/noti798

@@ Dòng 1: / Dòng 1: @@
-Trong toán học, cụ thể là trong lý thuyết hàm số có biến số phức, một giả lồi (''pseudoconvexity'') là một tập mở trong không gian phức ''n'' chiều '''C'''<sup>''n''</sup>. Khái niệm này là quan trọng, vì chúng cho phép phân loại các bậc trong lý thuyết đồng luân.
+Trong toán học, cụ thể là trong lý thuyết hàm số nhiều biến số phức, các tập giả lồi là các tập mở trong không gian phức ''n'' chiều '''C'''<sup>''n''</sup> có tính chất đặc biệt, liên quan đến tính mở rộng các hàm chỉnh hình nhiều biến phức. Cho một miền ''G'' của '''C'''<sup>''n''</sup>, tức là một tập mở và liên thông. Miền ''G'' được gọi là giả lồi nếu tồn tại một hàm số đa điều hòa dưới và liên tục liên tục ''u'' trên ''G'' sao cho các tập mức
+:<math>\left\{z\in G\ |\ u(z)<c\right\}</math>
-Cho tập con ''G'' của '''C'''<sup>''n''</sup> làm một miền và là một tập mở liên thông. ''G'' được gọi là giả lồi nếu tồn tại một hàm số ''[[plurisubharmonic]]'' liên tục ''φ'' trên ''G'' và như vậy
+là tập [[compact]] tương đối của ''G'', với mọi số thực ''c''. Nói cách khác, một miền ''G'' là giả lồi nếu nó có một hàm số đa điều hòa dưới "vét cạn" liên tục. Hàm số vét cạn ''u'' có thể lấy là hàm <math>u(z)=-\log dist(z,\partial G)</math>.
-:<math>\left\{z\in G\ |\ \varphi(z)<x\right\}</math>
-là tập [[compact]] có quan hệ của ''G'' với mọi số thực ''x''. Nói cách khác, một miền là giả lồi nếu ''G'' có một hàm số plurisubharmonic "cạn kiệt" liên tục. Mọi tập lồi có thể giả lồi. Giả lồi [[Levi]] còn được gọi đơn giản là giả lồi.
+Miền giả lồi được dùng để miêu tả các miền chỉnh hình như sau: "Một miền trong  '''C'''<sup>''n''</sup> là miền chỉnh hình nếu và chỉ nếu nó là miền giả lồi." Đây chính là lời giải của bài toán Levi.
+Mọi tập lồi có thể giả lồi. Giả lồi [[Levi]] còn được gọi đơn giản là giả lồi.
 Khi ''G'' có một tập ''C''&sup2; làm biên. Một cách đặc biệt, với biên ''C''&sup2; có thể chỉ ra rằng ''G'' có một hàm số định nghĩa, i.e., tồn tại <math>\rho:\mathbb{C}^n\to\mathbb{R}</math> là ''C''&sup2; cho nên <math>G=\left\{\rho<0\right\}</math> và <math>\partial G=\left\{\rho=0\right\}.</math> Bây giờ, ''G'' là giả lồi nếu và chỉ nếu ''p'' &isin; ∂''G'' và ''w'' thuộc không gian phức tiếp tuyến:
 :<math> \nabla \rho(p) w = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \rho (p)}{ \partial z_j }w_j =0 </math> ta sẽ có