Đẳng thức lượng giác

Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa các hàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số.

Các đẳng thức này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác. Ví dụ trong việc tính tích phân với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính.

Định nghĩa

Xem thêm các hàm lượng giác

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\qquad \operatorname {cotg} (x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}={\frac {1}{\tan(x)}}$

$\operatorname {sec} (x)={\frac {1}{\cos(x)}}\qquad \operatorname {csc} (x)={\frac {1}{\sin(x)}}$

Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn (k nguyên)	Đối xứng	Tịnh tiến
$\sin(x)=\sin(x+2k\pi )\,$	$\sin(-x)=-\sin(x)\,$	$\sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
$\cos(x)=\cos(x+2k\pi )\,$	$\cos(-x)=\;\cos(x)\,$	$\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
$\tan(x)=\tan(x+k\pi )\,$	$\tan(-x)=-\tan(x)\,$	$\tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
	$\cot(-x)=-\cot(x)\,$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )$

với

$\varphi =\left\{{\begin{matrix}{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0;\;\\\pi +{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\;\end{matrix}}\right.\;$

Đẳng thức Pytago

Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago.

$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\;$

$\tan ^{2}(x)+1={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$

$1+\cot ^{2}(x)={\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}$

Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).

Tổng và hiệu của góc

Xem thêm Định lý Ptolemaios

Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.

$\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,$

$\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,$

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}$

$\ cot(x\pm y)={\frac {1\mp \tan(x)\tan(y)}{\tan(x)\pm \tan(y)}}$

${\rm {c\imath s}}(x+y)={\rm {c\imath s}}(x)\,{\rm {c\imath s}}(y)$

${\rm {c\imath s}}(x-y)={{\rm {c\imath s}}(x) \over {\rm {c\imath s}}(y)}$

với

${\rm {c\imath s}}(x)=e^{\imath x}=\cos(x)+\imath \sin(x)\,$

và

$\imath ={\sqrt {-1}}.\,$

Công thức góc bội

Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,$

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,$

$\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a² − b², 2ab, c²) cũng vậy.

Tổng quát

Nếu T_n là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).\,$

công thức de Moivre:

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}\,$

Hàm hạt nhân Dirichlet D_n(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)\;$

$={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}\;$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin(nx)=2\sin((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-2)x)$

$\cos(nx)=2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)$

Bội ba

Cơ bản

Ví dụ của trường hợp n = 3:

$\ sin(3x)=3sinx-4sin^{3}x$

$\ cos(3x)=4cos^{3}x-3cosx$

Nâng cao

$\ sin(3x)=4sinxsin(60^{o}-x)sin(60^{o}+x)$

$\ cos(3x)=4cosxcos(60^{o}-x)cos(60^{o}+x)$

$\ tan(3x)=tanxtan(60^{o}-x)tan(60^{o}+x)$

Công thức hạ bậc

Giải các phương trình ở công thức bội cho cos²(x) và sin²(x), thu được:

$\sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}$

$\cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}$

$\tan ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 1+\cos(2x)}$

$\sin ^{2}(x)\cos ^{2}(x)={1-\cos(4x) \over 8}$

$\sin ^{3}(x)={\frac {3\sin(x)-\sin(3x)}{4}}$

$\cos ^{3}(x)={\frac {3\cos(x)+\cos(3x)}{4}}$

$\sin ^{4}(x)={\frac {1\cos(4x)-4\cos(2x)+3}{8}}$

$\cos ^{4}(x)={\frac {1\cos(4x)+4\cos(2x)+3}{8}}$

Công thức góc chia đôi

Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:

$\sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}$

$\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}$

Dẫn đến:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\sin(x/2) \over \cos(x/2)}=\pm \,{\sqrt {1-\cos x \over 1+\cos x}}.\qquad \qquad (1)$

Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1+\cos x) \over (1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {1-\cos ^{2}x \over (1+\cos x)^{2}}}$

$={\sin x \over 1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1-\cos x) \over (1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)^{2} \over (1-\cos ^{2}x)}}$

$={1-\cos x \over \sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}.$

Nếu

$t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right),$

thì:

$\sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

and

$\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

and

$e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}.$

Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dạng.

Biến tích thành tổng

Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)=-{\cos \left(x+y\right)-\cos \left(x-y\right) \over 2}\;$

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)={\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)={\sin \left(x+y\right)+\sin \left(x-y\right) \over 2}\;$

$\cos \left(x\right)\sin \left(y\right)=-{\sin \left(x+y\right)-\sin \left(x-y\right) \over 2}\;$

Biển tổng thành tích

Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra:

$\sin(x)+\sin(y)=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\;$

$\sin(x)-\sin(y)=2\cos \left({x+y \over 2}\right)\sin \left({x-y \over 2}\right)\;$

$\cos(x)+\cos(y)=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\;$

$\cos(x)-\cos(y)=-2\sin \left({x+y \over 2}\right)\sin \left({x-y \over 2}\right)\;$

Hàm lượng giác nghịch đảo

$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;$

$\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;$

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ x>0\\-\pi /2,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ x<0\end{matrix}}\right..$

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)\;$

$\arctan(x)-\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)\;$

$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,$

$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,$

$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$

$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$

Dạng số phức

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;$

$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;$

với $i^{2}=-1.\,$

Tích vô hạn

Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:

$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$

$\cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$

Đẳng thức số

Cơ bản

Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:

$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}.$

Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:

$\prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin(x)}}.$

Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:

$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}$.

Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:

$\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)$

$\,+\,\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.$

Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy:

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

hay dùng công thức Euler:

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}.$

Một số đẳng thức khác:

${\begin{matrix}\sin 0&=&\sin 0^{\circ }&=&0&=&\cos 90^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\sin 30^{\circ }&=&1/2&=&\cos 60^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\sin 45^{\circ }&=&{\sqrt {2}}/2&=&\cos 45^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\sin 60^{\circ }&=&{\sqrt {3}}/2&=&\cos 30^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)&=&\sin 90^{\circ }&=&1&=&\cos 0^{\circ }&=&\cos 0\end{matrix}}$

$\sin {\frac {\pi }{7}}={\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {\sqrt {7}}{189}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(3j+1)!}{189^{j}j!\,(2j+2)!}}\!$

$\sin {\frac {\pi }{18}}={\frac {1}{6}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(3j)!}{27^{j}j!\,(2j+1)!}}\!$

Dùng tỷ lệ vàng φ:

$\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\cos 36^{\circ }={{\sqrt {5}}+1 \over 4}=\phi /2$

$\sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }$

Nâng cao

• $-{\frac {\sin({\frac {\pi }{7}})}{\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\frac {\sin({\frac {3\pi }{7}})}{\sin ^{2}({\frac {\pi }{7}})}}+{\frac {\sin({\frac {2\pi }{7}})}{\sin ^{2}({\frac {3\pi }{7}})}}=2{\sqrt {7}}$
• ${\frac {\sin ^{2}({\frac {\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\frac {\sin ^{2}({\frac {3\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {\pi }{7}})}}+{\frac {\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {3\pi }{7}})}}=28$
• ${\frac {\sin ^{2}({\frac {\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {2\pi }{7}})}}({\frac {4\sin({\frac {\pi }{7}})}{\sin({\frac {2\pi }{7}})}}-{\frac {2\sin({\frac {3\pi }{7}})}{\sin({\frac {\pi }{7}})}})+{\frac {\sin ^{2}({\frac {3\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {\pi }{7}})}}({\frac {2\sin({\frac {2\pi }{7}})}{\sin({\frac {3\pi }{7}})}}+{\frac {4\sin({\frac {3\pi }{7}})}{\sin({\frac {\pi }{7}})}})-{\frac {\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {3\pi }{7}})}}({\frac {2\sin({\frac {\pi }{7}})}{\sin({\frac {2\pi }{7}})}}+{\frac {4\sin({\frac {2\pi }{7}})}{\sin({\frac {3\pi }{7}})}})=280$
• $\cos({\frac {\pi }{17}})={\frac {1}{8}}{\sqrt {(}}2(2{\sqrt {{\sqrt {\frac {17(17-{\sqrt {17}})}{2}}}-{\sqrt {\frac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}-4{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}+3{\sqrt {17}}+17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+{\sqrt {17}}+15))$
• $\tan({\frac {\pi }{120}})={\sqrt {\frac {8-{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}{8+{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}}}$
• $\cos({\frac {\pi }{240}})={\frac {1}{16}}({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}})+{\sqrt {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+2}}({\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1))$
• ${\frac {\pi }{4}}=\cot ^{-1}(2)+\cot ^{-1}(3)$
• ${\frac {\pi }{4}}=\cot ^{-1}(2)+\cot ^{-1}(5)+\cot ^{-1}(8)$
• ${\frac {\pi }{4}}=2\cot ^{-1}(3)+\cot ^{-1}(7)$
• ${\frac {\pi }{4}}=3\cot ^{-1}(4)+\cot ^{-1}({\frac {99}{5}})$
• ${\frac {\pi }{4}}=4\cot ^{-1}(5)-\cot ^{-1}(239)$
• ${\frac {\pi }{4}}=4\cot ^{-1}(5)-\cot ^{-1}(70)+\cot ^{-1}(99){\frac {\pi }{4}}=5\cot ^{-1}(6)-\cot ^{-1}({\frac {503}{16}})-\cot ^{-1}(117)$
• ${\frac {\pi }{4}}=5\cot ^{-1}(7)+2\cot ^{-1}({\frac {79}{3}}){\frac {\pi }{4}}=6\cot ^{-1}(8)+\cot ^{-1}({\frac {99}{5}})-3\cot ^{-1}(268)$
• ${\frac {\pi }{4}}=8\cot ^{-1}(10)-\cot ^{-1}(239)-4\cot ^{-1}(515){\frac {\pi }{4}}=8\cot ^{-1}(10)-2\cot ^{-1}({\frac {452761}{2543}})-\cot ^{-1}(1393)$
• ${\frac {\pi }{4}}=8\cot ^{-1}(10)-\cot ^{-1}(100)-\cot ^{-1}(515)-\cot ^{-1}({\frac {371498882}{3583}}){\frac {\pi }{4}}=12\cot ^{-1}(18)+3\cot ^{-1}(70)+5\cot ^{-1}(99)+8\cot ^{-1}(307)$
• ${\frac {\pi }{4}}=12\cot ^{-1}(18)+8\cot ^{-1}(99)+3\cot ^{-1}(239)+8\cot ^{-1}(307)$

Giải tích

Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0,$

${d \over dx}\sin(x)=\cos(x)$

Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:

${d \over dx}\cos(x)=-\sin(x)$

${d \over dx}\tan(x)=\sec ^{2}(x)$

${d \over dx}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)$

${d \over dx}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)$

${d \over dx}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)$

${d \over dx}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${d \over dx}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.

Xem thêm

• Lượng giác
• Hàm lượng giác

Liên kết ngoài

• Chứng minh một số đẳng thức lượng giác bằng Công thức Euler, bởi Connelly Barnes.